Задача с ядерным топливом

[Skipper]

Такая задача. (реально цифры не такие, но принцип ЗЯТЦ - реакторов с замкнутым топливным циклом, будет такой. Пример реакторов-размножителей, которые могут задействовать в распаде весь уран-238, не участвующий изначально в распаде, но превращая его в плутоний).
Интересно понять, как подобное решать? Забыл совсем, раньше в универе, подобную задачу наверно, решил бы.
Задача ----------

В момент времени $0$ (в годах, т.е. $0$ лет), в быстром БН атомном реакторе, содержится
$100$ тонн ядерного топлива, из которых:

$20$ тонн - плутоний-239-й,
$80$ тонн - уран-238-й.

В процессе распада, происходят 2 процесса:
1) плутоний-239-й, распадается со скоростью, прямо пропорционально своей оставшейся массы во всём топливе, и превращаясь в отработавший и не участвующий в превращениях, материал.
2) уран-238, сам не участвует в распаде с получением энергии, и отходов не даёт, но попутно превращается в плутоний-239-й, (который в процессе работы реактора тут же участвует в распаде). Скорость этого превращения тоже прямо пропорциональна оставшейся массы урана-238.

Масса плутония-239, сначала даже увеличивается, т.е. хотя он и распадается, но изначально прирост его за счет превращения из урана-238, бОльший чем убыль из-за собственного распада.

Через $5$ лет работы реактора, состав топлива становится таким (три компонента)-

$25$ тонн - плутоний-239-й, ($5$ тонн приросло, хотя он распадался попутно, распад $5$ тонн),
$70$ тонн - уран-238-й. (дал выход : $10$ тонн плутония),
(
$5$ тонн- отходы от плутоний-239,
)

Реактор нужно остановить и извлечь всё топливо для переработки и удаления
отходов, в самый оптимальный момент, когда будет масса участвующего в распаде материала,
плутония-239, максимальна.

Вопрос- через какое время нужно (в единицах годах- $N$ лет, с точностью до 0,01 год, в месяцы и прочее переводить не надо), останавливать реактор, в этот оптимальный момент,
и какой в этот момент будет его состав (по всем трём компонентам) ?
Спасибо.

[Skipper]

Самый простой процесс, это превращение урана-238. (у плутония он сложнее, как и у накопленных отходов).
Пусть $U(t)$ - скорость увеличения/уменьшения массы урана в момент времени $t$.
Пусть $M(t)$ - накопленная масса с учётом прироста/уменьшения урана в момент времени $t$.

Скорость увеличения/уменьшения массы урана прямо пропорциональна самой массе в текущий момент,
значит $ U(t) = a \cdot M(t)$, где $a$ - некоторая константа.
Скорость - это производная от накопленной массы, потому,
$ M'(t) = a \cdot M(t)$,
$\dfrac{dM}{dt} = a \cdot M$,
решим уравнение, получим
$t + C = \dfrac{1}{a} \cdot \ln(M)$, где $C$ - константа полученная интегрированием дифф. уравнения.
Значит,
$a \cdot ( t + C ) = \ln M$ ,
$M(t) = e ^ {a \cdot (t + C) } $ ,
в момент времени $0$, масса урана $80$, значит,
$M(0) = 80 = e ^ {a \cdot (0 + C) } $ ,
$ e ^ {a \cdot C } = 80 $ ,
$a \cdot C = \ln 80$ ,

в момент времени $5$, масса урана $70$, значит,
$M(5) = 70 = e ^ {a \cdot (5 + C) } $ ,
$ e ^ {a \cdot (5 + C) } = 70 $ ,
$a \cdot (5+C) = \ln 70$ ,

Значит нужно решить систему уравнений,
$a \cdot (5+C) = \ln 70$ ,
$a \cdot C = \ln 80$ ,

разделим первое на второе, получим примерно,
$\dfrac{(5+C)}{C} = \dfrac{\ln 70}{\ln 80} = 4,248495 / 4,382026 = 0,969527... $
$ 5+C = 0,969527 \cdot C $ ,
$0,030473 \cdot C = -5$ ,
$C = -164,079677$ ,

подставим теперь сюда, чтобы найти $a$ :
$a \cdot C = \ln 80 = 4,3820266 $ ,
$-164,079677 \cdot a = 4,3820266$ ,
$a = -0,0267066$ ,

вернёмся к исходной функции, и подставим $a$ и $C$ :
$M(t) = e ^ {a \cdot (t + C) } $ ,
$M(t) = e ^ {-0,0267066 \cdot (t - 164,079677) } $ ,

Это окончательная функция зависящая от времени, по которой можно узнать в любой момент времени
массу урана?

Проверим, подставим $0, 2, 5, 10, 20$ лет к примеру:

$M(0) = e ^ {-0,0267066 \cdot ( -164,079677) } = e ^ {4,382010} = 80 $ ,

$M(2) = e ^ {-0,0267066 \cdot (2 - 164,079677) } = e ^ {-0,0267066 \cdot (-162,079677) } = e ^ {4,3285971} = 75,178028 $ ,
$M(5) = e ^ {-0,0267066 \cdot (5 - 164,079677) } = e ^ {-0,0267066 \cdot (-159,079677) } = e ^ {4,2484773} = 69,96.. $ ,
$M(10) = e ^ {-0,0267066 \cdot (10 - 164,079677)}= e ^ {-0,0267066 \cdot (-154,079677) } = e ^ {4,114944} = 61,22265 $ ,
$M(20) = e ^ {-0,0267066 \cdot (20 - 164,079677)}= e ^ {-0,0267066 \cdot (-144,079677) } = e ^ {3,847878} = 46,5306080 $ ,

Что же, похоже, на правду, в момент времени $0$, как и по условию задачи, получилось
примерно $80$ тонн урана, через $2$ года $75,178028$ тонн, через $5$ лет как по условию
задачи примерно $70$ тонн, из-за того что слишком длинные дроби не добавлял, с погрешностью,
точнее $69,96$.. тонн, через $10$ лет, урана в реакторе уже $61,22265$ тонна,
а через $20$ лет, урана $46,5306080$ тонн.

То есть,
$M(0) = 80 $ ,
$M(2) = 75,178028 $ ,
$M(5) = 69,96.. $ ,
$M(10) = 61,22265 $ ,
$M(20) = 46,5306080 $ ,

и средствами мат.анализа, мы получили точную функцию, зависимости
массы урана в реакторе $M$,
(в единицах тонн), от времени $t$ в годах ,
по времени от $0$, и до плюс бесконечного времени,

точно вот такую функцию - :

$M(t) = e ^ {-0,0267066 \cdot (t - 164,079677) } $ .

Далее, всё сложнее. Искать, по какой функции изменяется масса плутония,
или что эквивалентно, масса отходов, (зная две функции, третья будет вычислена
просто как разность от $100$ первых двух).

Почему сложнее? Там два процесса происходят (плутоний одновременно и распадается,
и добавляется путём преобразования от урана, путём захвата нейтронов)
в отличие от одного процесса, от которого зависела
функция массы урана от времени $M(t)$,

[dgwuqtj]

Ну так для массы плутония $P(t)$ тоже можно написать уравнение, $P'(t) = -a M(t) + b P(t)$. Константу $a$ (и функцию $M$) вы уже нашли.

[Skipper]

Так, с полной строгостью, (для полного понимания), мы выше нашли,

$M(t)$ - накопленная масса уменьшения урана в момент времени $t$.
Скорость уменьшения массы урана в любой момент, значит,
$M'(t) = a \cdot M(t)$, где $a$ - найденная константа.

Взяв с отрицательным знаком последнюю фунцию, получим,
$- a \cdot M(t)$, это скорость наоборот, увеличения массы плутония в каждый момент времени,
за счёт превращения урана,

теперь, аналогично, рассуждениям выше, введём функции,

Пусть $P(t)$ - ОБЩАЯ накопленная масса с учётом прироста/уменьшения плутония в момент времени $t$.
То есть сколько его вообще есть во всём ядерном топливе в любой момент времени.

Но,
$V(t)$ - общая скорость увеличения/уменьшения массы плутония в момент времени $t$, теперь складывается из двух слагаемых,

1) скоростью из-за уменьшения массы плутония путём его распада всего полностью, который содержится
в топливе, а это прямо пропорционально полной массе в любой момент,
значит $ b \cdot P(t)$, где $b$ - некоторая неизвестная константа.
2) из-за параллельного прироста массы плутоний путём преобразования из урана, мы должны добавить
выше рассчитанное слагаемое,

$- a \cdot M(t)$, это скорость наоборот, увеличения массы плутония в каждый момент времени,
за счёт превращения урана,

В итоге, полная формула , верно,
$V(t) = P'(t) = -a \cdot M(t) + b \cdot P(t) $ ,

Было,
$M(t) = e ^ {a \cdot (t + C) } $ ,
$M(t) = e ^ {-0,0267066 \cdot (t - 164,079677) } $ ,

Значит,
$V(t) = P'(t) = -a \cdot M(t) + b \cdot P(t) $ ,
$V(t) = P'(t) = 0,0267066 \cdot e ^ {-0,0267066 \cdot (t - 164,079677) } + b \cdot P(t) $ ,
$V(t) = P'(t) = 0,0267066 \cdot e ^ { 4,38201 - 0,0267066 \cdot t } + b \cdot P(t) $ ,
$V(t) = P'(t) = 0,0267066 \cdot 79,988117 \cdot e ^ {- 0,0267066 \cdot t } + b \cdot P(t) $ ,
$V(t) = P'(t) = 2,1364 \cdot e ^ {- 0,0267066 \cdot t } + b \cdot P(t) $ ,

Итак, решить нужно, вот это главное дифференциальное уравнение,

$V(t) = P'(t) = 2,1364 \cdot e ^ {- 0,0267066 \cdot t } + b \cdot P(t) $ ,

Найти сначала получится $P(t)$ - сколько плутония в любой момент времени,
после нулевого. Только потом, найдя производную,
$V(t) = P'(t) $ ,
найдём общую функцию скорости плутония в топливе,

Затем, приравняв эту функцию к $0$, найдём экстремум функции,
при каком $ t$ , плутония становится максимальное количество.

Ну а дальше, применив это $t$ , и функцию $P(t)$ - найдём сколько плутония,
$M(t)$ - урана, $(100 - P(t) - M(t) )$ - отходов,
чтобы ответить на вопрос задачи,

-- Вт ноя 19, 2024 12:48:55 --

Задачу, всё таки, надо переформулировать. Содержание по сути будет то же, только числа
немного другие. Чтобы было ближе к истине.
Потому что реально заинтересовало, сколько тонн можно за один топливный цикл, дополнительных
тонн заполучить дополнительного ядерного топлива плутония-239, в подобных
реакторах-размножителях на БН- быстрых нейтронах.
И сколько нужно будет человечеству настроить подобных реакторов-размножителей,
чтобы например, за столетие набрать дополнительно какое то большое число N тонн плутония.
ИТАК, далее задачу рассматриваем с такими входными данными (что ближе к истине) -

(Пример реакторов-размножителей, которые могут задействовать в распаде весь уран-238, не участвующий изначально в распаде, но превращая его в плутоний).

Задача -------------------------------------------------------------------------------------------

В момент времени $0$ (в годах, т.е. $0$ лет), в быстром БН атомном реакторе, содержится
$100$ тонн ядерного топлива, из которых:

$20$ тонн - плутоний-239-й,
$80$ тонн - уран-238-й.

В процессе распада, происходят 2 процесса:
1) плутоний-239-й, распадается со скоростью, прямо пропорционально своей оставшейся массы во всём топливе, и превращаясь в отработавший и не участвующий в превращениях, материал.
2) уран-238, сам не участвует в распаде с получением энергии, и отходов не даёт, но попутно превращается в плутоний-239-й, (который в процессе работы реактора тут же участвует в распаде). Скорость этого превращения тоже прямо пропорциональна оставшейся массы урана-238.

Масса плутония-239, сначала даже увеличивается, т.е. хотя он и распадается, но изначально прирост его за счет превращения из урана-238, бОльший чем убыль из-за собственного распада.

Через $3$ года работы реактора, состав топлива становится таким (три компонента)-

$22$ тонны - плутоний-239-й, ($2$ тонны приросло, хотя он распадался попутно, распад $5$ тонн),
$73$ тонны - уран-238-й. (дал выход : $7$ тонн плутония. Коэфф. размножения нейтронов 2,8 с 2 захваченных, т.е. 1,4),
(
$5$ тонн- отходы от плутоний-239,
)

Реактор нужно остановить и извлечь всё топливо для переработки и удаления
отходов, в самый оптимальный момент, когда будет масса участвующего в распаде материала,
плутония-239, максимальна.

Вопрос- через какое время нужно (в единицах годах- $N$ лет, с точностью до 0,01 год, в месяцы и прочее переводить не надо), останавливать реактор, в этот оптимальный момент,
и какой в этот момент будет его состав (по всем трём компонентам) ?

Конец условия задачи------------------------------------------------------------------------

[Skipper]

Аналогично вычислениям выше, находим сначала, функции для урана-238.
Самый простой процесс, это превращение урана-238. (у плутония он сложнее, как и у накопленных отходов).
Пусть $U(t)$ - скорость увеличения/уменьшения массы урана в момент времени $t$.
Пусть $M(t)$ - накопленная масса с учётом прироста/уменьшения урана в момент времени $t$.

Скорость увеличения/уменьшения массы урана прямо пропорциональна самой массе в текущий момент,
значит $ U(t) = a \cdot M(t)$, где $a$ - некоторая константа.
Скорость - это производная от накопленной массы, потому,
$ M'(t) = a \cdot M(t)$,
$\dfrac{dM}{dt} = a \cdot M$,
решим уравнение, получим
$t + C = \dfrac{1}{a} \cdot \ln(M)$, где $C$ - константа полученная интегрированием дифф. уравнения.
Значит,
$a \cdot ( t + C ) = \ln M$ ,
$M(t) = e ^ {a \cdot (t + C) } $ ,

в момент времени $0$, масса урана $80$, значит,
$M(0) = 80 = e ^ {a \cdot (0 + C) } $ ,
$ e ^ {a \cdot C } = 80 $ ,
$a \cdot C = \ln 80$ ,

в момент времени $3$, масса урана $73$, значит,
$M(3) = 73 = e ^ {a \cdot (3 + C) } $ ,
$ e ^ {a \cdot (3 + C) } = 73 $ ,
$a \cdot (3+C) = \ln 73$ ,

Значит нужно решить систему уравнений,
$a \cdot (3+C) = \ln 73$ ,
$a \cdot C = \ln 80$ ,

разделим первое на второе, получим примерно,
$\dfrac{(3+C)}{C} = \dfrac{\ln 73}{\ln 80} = 4,2904594 / 4,382026 = 0,97910404... $
$ 3+C = 0,97910404 \cdot C $ ,
$0,02089596 \cdot C = -3$ ,
$C = -143,5684218$ ,

подставим теперь сюда, чтобы найти $a$ :
$a \cdot C = \ln 80 = 4,382026 $ ,
$-143,5684218 \cdot a = 4,382026$ ,
$a = -0,03052221$ ,

вернёмся к исходной функции, и подставим $a$ и $C$ :
$M(t) = e ^ {a \cdot (t + C) } $ ,
$M(t) = e ^ {-0,03052221 \cdot (t - 143,5684218) } $ ,

Это окончательная функция зависящая от времени, по которой можно узнать в любой момент времени
массу урана?

Проверим, подставим $0, 3, 10, 20$ лет к примеру:

$M(0) = e ^ {-0,03052221 \cdot ( -143,5684218) } = e ^ {4,3820255} = 79,99 $ ,

$M(3) = e ^ {-0,03052221 \cdot (3 - 143,5684218) } = e ^ {-0,03052221 \cdot (-140,5684218) } = e ^ {4,290458} = 73,001 $ ,
$M(10) = e ^ {-0,03052221 \cdot (10 - 143,5684218)}= e ^ {-0,03052221 \cdot (-133,5684218) } = e ^ {4,076803} = 58,95829 $ ,
$M(20) = e ^ {-0,03052221 \cdot (20 - 143,5684218)}= e ^ {-0,03052221 \cdot (-123,5684218) } = e ^ {3,771581} = 43,449798 $ ,

Что же, похоже, на правду, в момент времени $0$, как и по условию задачи, получилось
примерно $80$ тонн урана, через $3$ года $73,001$ тонн,
через $10$ лет, урана в реакторе уже $58,95829$ тонна,
а через $20$ лет, урана $43,449798$ тонн.

То есть,
$M(0) = 80 $ ,
$M(3) = 73,001 $ ,
$M(10) = 58,95829 $ ,
$M(20) = 43,449798 $ ,

и средствами мат.анализа, мы получили точную функцию, зависимости
массы урана в реакторе $M$,
(в единицах тонн), от времени $t$ в годах ,
по времени от $0$, и до плюс бесконечного времени,

точно вот такую функцию - :

$M(t) = e ^ {-0,03052221 \cdot (t - 143,5684218) } $ ,

Далее, всё сложнее. Искать, по какой функции изменяется масса плутония,
или что эквивалентно, масса отходов, (зная две функции, третья будет вычислена
просто как разность от $100$ первых двух).

Почему сложнее? Там два процесса происходят (плутоний одновременно и распадается,
и добавляется путём преобразования от урана, путём захвата нейтронов)
в отличие от одного процесса, от которого зависела
функция массы урана от времени $M(t)$,

но выше выкладки, уже есть, проведём с другими входными числовыми данными,

-- Вт ноя 19, 2024 13:45:49 --

-------------------------------------------------------------------------------------------
с полной строгостью, (для полного понимания), мы выше нашли,

$M(t)$ - накопленная масса уменьшения урана в момент времени $t$.
Скорость уменьшения массы урана в любой момент, значит,
$M'(t) = a \cdot M(t)$, где $a$ - найденная константа.

Взяв с отрицательным знаком последнюю фунцию, получим,
$- a \cdot M(t)$, это скорость наоборот, увеличения массы плутония в каждый момент времени,
за счёт превращения урана,

теперь, аналогично, рассуждениям выше, введём функции,

Пусть $P(t)$ - ОБЩАЯ накопленная масса с учётом прироста/уменьшения плутония в момент времени $t$.
То есть сколько его вообще есть во всём ядерном топливе в любой момент времени.

Но,
$V(t)$ - общая скорость увеличения/уменьшения массы плутония в момент времени $t$, теперь складывается из двух слагаемых,

1) скоростью из-за уменьшения массы плутония путём его распада всего полностью, который содержится
в топливе, а это прямо пропорционально полной массе в любой момент,
значит $ b \cdot P(t)$, где $b$ - некоторая неизвестная константа.
2) из-за параллельного прироста массы плутония путём преобразования из урана, мы должны добавить
выше рассчитанное слагаемое,

$- a \cdot M(t)$, это скорость наоборот, увеличения массы плутония в каждый момент времени,
за счёт превращения урана,

В итоге, полная формула , верно,
$V(t) = P'(t) = -a \cdot M(t) + b \cdot P(t) $ ,

Было,
$M(t) = e ^ {a \cdot (t + C) } $ ,
$M(t) = e ^ {-0,03052221 \cdot (t - 143,5684218) } $ ,

Значит,
$V(t) = P'(t) = -a \cdot M(t) + b \cdot P(t) $ ,
$V(t) = P'(t) = 0,03052221 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot (t - 143,5684218) } + b \cdot P(t) $ ,
$V(t) = P'(t) = 0,03052221 \cdot e ^ { 4,38202 - 0,03052221 \cdot t } + b \cdot P(t) $ ,
$V(t) = P'(t) = 0,03052221 \cdot 80,001 \cdot e ^ {- 0,03052221 \cdot t } + b \cdot P(t) $ ,
$V(t) = P'(t) = 2,441807 \cdot e ^ {- 0,03052221 \cdot t } + b \cdot P(t) $ ,

Итак, решить нужно, вот это главное дифференциальное уравнение,

$V(t) = P'(t) = 2,441807 \cdot e ^ {- 0,03052221 \cdot t } + b \cdot P(t) $ ,

Найти сначала получится $P(t)$ - сколько плутония в любой момент времени,
после нулевого. Только потом, найдя производную,
$V(t) = P'(t) $ ,
найдём общую функцию скорости плутония в топливе,

Затем, приравняв эту функцию к $0$, найдём экстремум функции,
при каком $ t$ , плутония становится максимальное количество.

Ну а дальше, применив это $t$ , и функцию $P(t)$ - найдём сколько плутония,
$M(t)$ - урана, $(100 - P(t) - M(t) )$ - отходов,
чтобы ответить на вопрос задачи,

[Skipper]

------------------------------------------------------------------------------
далее, решаем главное дифференциальное уравнение,

$V(t) = P'(t) = 2,441807 \cdot e ^ {- 0,03052221 \cdot t } + b \cdot P(t) $ ,

Для удобства восприятия, заменим временно
$y = P(t) $,
$x = t$ ,
Это просто дело привычки, исторически, обычно все решают дифференциальные
уравнения с одной переменной, используя, $x,y,y'$ , где $y$
это функция от $x$, т.е. $y(x)$.
Потому, из-за привычки, так легче будет восприниматься. Ну а когда выведем
искомую функцию, $y(x)$, то мы обратно и заменим,
на $y = P(t)$, и $ x = t$,

Итак, имеем $x,y,y'$ , и константу $b$, (а после интегрирования появится ещё $C$),

$y' = 2,441807 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot x} + b \cdot y$ ,
$y' - b \cdot y - 2,441807 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot x} =0$ ,

это уравнение соответствует типу
$y' + q(x) \cdot y + r (x) = 0$, а значит это,
1) ОДУ, и линейное, и 1-го порядка, (должно иметь решение),
2) при этом, уравнение неоднородное линейное (сложнее чем однородные),

Продолжая,
Делаем замену переменных: $y = uv ; y' = u'v + uv' $,
получаем,
$u'v + uv' - b \cdot uv - 2,441807 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot x} =0$ ,

Выберем $v$ так, чтобы выполнялись условия:
1) $u(-b v + v')=0 $ ,
2) $ u'v - 2,441807 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot x} =0 $ ,

из первого равенства, один из множителей равен $0$, пусть $u$ и $v$ такие, что $0$ то что в скобках:
$(-b v + v')=0$ ,
Представим в виде:
$v' = b v$ ,
Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:
$v'(x) = b v(x)$ ,
$\dfrac{dv}{dx} =b v(x) $ ,

$\dfrac{dv}{v} =b \cdot dx $ ,
Интегрируем, получаем,
$\int\limits_{}^{} \dfrac{dv}{v} = b \cdot \int\limits_{}^{} dx $ ,
$\ln (v) = b \cdot x$ ,
$v = e ^ {b \cdot x}$ ,
Зная $v$ , находим $u$ из условия :
$ u'v - 2,441807 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot x} =0 $ ,
$ u' \cdot e ^ {b \cdot x} - 2,441807 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot x} =0 $ ,
$ u' = 2,441807 \cdot e ^ { (-0,03052221-b) \cdot x} $ ,
интегрируем,
$ u = \int\limits_{}^{} 2,441807 \cdot e ^ { (-0,03052221-b) \cdot x } \cdot dx $ ,
=
$\dfrac{2,441807}{(-0,03052221-b)} \cdot e ^ { (-0,03052221-b) \cdot x }$ ,
Из условия $y=uv$, получаем:
$y = (C + \dfrac{2,441807}{(-0,03052221-b)} \cdot e ^ { (-0,03052221-b) \cdot x }) \cdot e ^ {b \cdot x} $ ,

$y = C \cdot e ^ {bx} + \dfrac{2,441807}{(-0,03052221-b)} \cdot e ^ {-0,03052221x - bx + bx}$

общая главная функция-
$y = C \cdot e ^ {bx} + \dfrac{2,441807}{(-0,03052221-b)} \cdot e ^ {-0,03052221x}$ ,

Далее, из условия задачи, в момент времени $x = 0$, имеем $y = 20$,
а в момент времени $x = 3$, имеем $y = 22$ ,
нам это нужно чтобы найти константы $C$ и $b$ ,
Получим систему,

$22 = C \cdot e ^ {3b} + \dfrac{2,441807}{(-0,03052221-b)} \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot 3}$,

$20 = C \cdot e ^ {0} + \dfrac{2,441807}{(-0,03052221-b)} \cdot e ^ {0}$ ,

пробуем упростить нижнее равенство,

$20 = C + \dfrac{2,441807}{(-0,03052221-b)} $ ,

$(20 - C) \cdot (-0,03052221-b) = 2,441807 $,
$-0,6104442 - 20 b + 0,03052221 C + Cb = 2,441807$ ,
$0,03052221 C + Cb = 20 b + 3,0522512$ ,
$ C (0,03052221 + b) = 20 b + 3,0522512$ ,

$ C = \dfrac{ (20 b + 3,0522512)}{(0,03052221 + b) } $,

вернёмся к другому равенству,

$22 = C \cdot e ^ {3b} + \dfrac{2,441807}{(-0,03052221-b)} \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot 3}$,

$22 = C \cdot e ^ {3b} + \dfrac{2,22814877}{(-0,03052221-b)} $,

$22 = \dfrac{(C \cdot e ^ {3b}) \cdot (-0,03052221-b) + 2,22814877}{(-0,03052221-b)} $,

$22 (-0,03052221-b) = (C \cdot e ^ {3b}) \cdot (-0,03052221-b) + 2,22814877$ ,
$22 (0,03052221+b) = (C \cdot e ^ {3b}) \cdot (0,03052221+b) - 2,22814877$ ,

$0,67148862+ 22b = (C \cdot e ^ {3b}) \cdot (0,03052221+b) - 2,22814877$ ,
$22b = C \cdot e ^ {3b} \cdot (0,03052221+b) - 2,89963739$ ,

теперь подставим выше найденное выражение для $C$ через формулу для $b$,

$22b = \dfrac{ (20 b + 3,0522512)}{(0,03052221 + b) } \cdot e ^ {3b} \cdot (0,03052221+b) - 2,89963739$ ,
и единственный знаменатель, сокращается,
$22b = (20 b + 3,0522512) \cdot e ^ {3b} - 2,89963739$ ,

---------------------------
Вернёмся теперь, к нашим временным заменам, y, x, и заменим обратно,
получим, общую главную функцию,

$P(t) = C \cdot e ^ {b \cdot t} + \dfrac{2,441807}{(-0,03052221-b)} \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot t}$ ,

но чтобы окончательно её выразить, нужно вычислить хотя бы приблизительно константы $C$ и $b$, которые
$22b = (20 b + 3,0522512) \cdot e ^ {3b} - 2,89963739$ ,
(как найти здесь b ?) а затем зная $b$, найти,

$ C = \dfrac{ (20 b + 3,0522512)}{(0,03052221 + b) } $,

[dgwuqtj]

Skipper в сообщении #1662063 писал(а):

как найти здесь b ?

Численно, как же ещё. К тому же вы всё остальное считали в десятичных дробях.

[Skipper]

dgwuqtj, спасибо!
------------------------------------
Итак, нужно вычислить хотя бы приблизительно константы $C$ и $b$.
Для $b$ уравнение такое-

$(20 b + 3,0522512) \cdot e ^ {3b} - 22b - 2,89963739 = 0$ ,

(как найти здесь $b$ ?).

Подобного не проходили даже в универе. Попробовал всякие онлайн-калькуляторы,
решения не расписывают, значит аналитического упрощения уравнения, видимо и нету.
Самое возможное, что удалось сделать, это найти "численный ответ", да и то выдаёт $2$ корня.
Приходится просто брать как есть, а если бы такого онлайн-сервиса не было бы,
как бы сам должен был бы находить этот численный ответ?

Итак, два корня приближенно,

$b = -0,07901608$ ,
$b = -0,03052267$ ,

проверим на калькуляторе, подставив и первый и второй корни - ответы правильные.

Используя формулу,
$ C = \dfrac{ (20 b + 3,0522512)}{(0,03052221 + b) } $,
находим, видим, что, вариант не подходит,
$b = -0,03052267$ ,
потому что $C$ не найдём- будет деление на $0$ ,
Значит остаётся единственно правильный вариант, по нему и находим C,
окончательно пара констант -

$b = -0,07901608$ ,
$C = -30.35293$ ,

$P(t) = C \cdot e ^ {b \cdot t} + \dfrac{2,441807}{(-0,03052221-b)} \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot t}$ ,

$P(t) = C \cdot e ^ {-0,07901608 \cdot t} + 50,3529 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot t}$ ,
$P(t) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot t} - 30.35293 \cdot e ^ {-0,07901608 \cdot t}$ ,

И подставив эти константы, получим, общую главную функцию,
$P(t)$ - ОБЩАЯ накопленная масса с учётом прироста/уменьшения плутония в момент времени $t$.
То есть сколько его вообще есть во всём ядерном топливе в любой момент времени,

$P(t) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot t} - 30.35293 \cdot e ^ {-0,07901608 \cdot t}$ ,

проверим, в точке времени $t = 0$ , очевидно, ответ правильный,
$$P(0) = 50,3529 \cdot e ^ {0} - 30,35293 \cdot e ^ {0} = 50,3529 - 30,3529 = 20$ ,

в точке времени $t = 3$ (года), ответ должен быть примерно $22$ (тонны),

$P(3) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot 3} - 30,35293 \cdot e ^ {-0,07901608 \cdot 3}$ ,
$P(3) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,09156663} - 30,35293 \cdot e ^ {-0,23704824}$ ,
$P(3) = 50,3529 \cdot 0,9124999 - 30,35293 \cdot 0,788951 = 22.00004$ ,

тоже всё сходится, как по условию задачи выдала функция, (ЧУДЕСА какие то! неужели всё верно),
посчитаем ради интереса, сколько будет плутония в реакторе через $9$ и $10$ лет его работы,

точка времени $t = 9$ (лет),
$P(9) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot 9} - 30,35293 \cdot e ^ {-0,07901608 \cdot 9}$,
$P(9) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,27469989} - 30,35293 \cdot e ^ {-0,71114472}$,
$P(9) = 50,3529 \cdot 0,7597987 - 30,35293 \cdot 0,491079 = 23,3523$ ,

точка времени $t = 10$ (лет),
$P(10) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot 10} - 30,35293 \cdot e ^ {-0,07901608 \cdot 10}$,
$P(10) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,3052221} - 30,35293 \cdot e ^ {-0,7901608}$,
$P(10) = 50,3529 \cdot 0,7369581 - 30,35293 \cdot 0,453769 = 23,3347$ ,

Когда максимум плутония в реакторе пока не нашли, но видим, что его через 10 лет,
больше чем было через 3 года,

Итак, надо найти экстремум функции, скорости. Сначала найдём функцию скорости,

$V(t) = P'(t)$ где, уже доказано, наша функция
$P(t) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot t} - 30,35293 \cdot e ^ {-0,07901608 \cdot t}$ ,

Найдем производную этой функции,
$V(t) = P'(t) = 2,398369 \cdot e^ {-0,07901608 \cdot t } - 1,5368817 \cdot e^ {-0,03052221 \cdot t}$ ,
теперь, нужно найти время $t$, с экстремумом, где эта функция имеет максимально значение,
так как это стационарная точка, то и производная в ней будет равна нулю, а значит
чтобы найти $t$ нужно решить это уравнение -

$2,398369 \cdot e^ {-0,07901608 \cdot t } - 1,5368817 \cdot e^ {-0,03052221 \cdot t} = 0$ ,

Подобного тоже не проходили даже в универе. Попробовал всякие онлайн-калькуляторы,
решения не расписывают, значит аналитического упрощения уравнения, видимо и нету.
Самое возможное, что удалось сделать, это найти "численный ответ",
$t = 9,177107$

Можно убедиться что производная функция равна нулю,
$2,398369 \cdot e^ {-0,07901608 \cdot 9,177107 } - 1,5368817 \cdot e^ {-0,03052221 \cdot 9,177107} = 0$ ,
$2,398369 \cdot e^ {-0,725139 } - 1,5368817 \cdot e^ {-0,2801055} = 0$ ,
$2,398369 \cdot 0,4842549 - 1,5368817 \cdot 0,7557025 = 0$ , должно быть,
$-0,0000034$ , реальный результат,

Почти нуль. Найден экстремум производной функции, в точке времени (в годах), :
$t = 9,177107$ ,

Можно ещё проверить по функции$ P(t)$ . Выше мы уже посчитали,
$P(9) = 23,3523$ ,
$P(10) = 23,3347$ ,
близки к экстремуму, значит абсолютный максимум P(9,177107) будет больше этих обоих значений:

точка времени $t = 9,177107$ (лет),
$P(9,177107) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot 9,177107} - 30,35293 \cdot e ^ {-0,07901608 \cdot 9,177107}$,
$P(9,177107) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,28010556} - 30,35293 \cdot e ^ {-0,725139}$,
$P(9,177107) = 50,3529 \cdot 0,7557025 - 30,35293 \cdot 0,4842549 = 23,3532$ ,

Интересно, сколько останется плутония, если реактор отработает 20 лет,

точка времени $t = 20$ (лет),
$P(20) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot 20} - 30,35293 \cdot e ^ {-0,07901608 \cdot 20}$,
$P(20) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,6104442} - 30,35293 \cdot e ^ {-1,5803216}$,
$P(20) = 50,3529 \cdot 0,543107 - 30,35293 \cdot 0,2059066 = 21,09714$ ,

Вот так, удивительно, достигнув в реакторе максимума в точке времени 9,177107 лет $=$ 23,3532 тонн,
достаточно долго держится на высоком уровне, и сильно не уменьшается масса плутония,
за 20 лет работы реактора, плутония в точке времени 20 лет $=$ 21,09714 тонн,
всё ещё больше, чем $20$ тонн, в самом начале (точка $0$).

-------------------------------------
Итак, мы нашли, точку экстремума, время $t$ когда в реакторе максимальная масса плутония,
$t = 9,177107$ (лет),

и важную функцию сколько плутония в реакторе в любой момент времени:
$P(t) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot t} - 30.35293 \cdot e ^ {-0,07901608 \cdot t}$ ,

и важную функцию сколько урана в реакторе в любой момент времени:
$M(t) = e ^ {-0,03052221 \cdot (t - 143,5684218) } $ ,

Сколько плутония выше уже посчитал,
$P(9,177107) = 23,3532$ , тонн,

посчитаем, сколько в это время урана:
$M(9,177107) = e ^ {-0,03052221 \cdot (9,177107 - 143,5684218) } = 60,457905 $ , тонн,

отходов будет в этот момент,
$100 - 23,3532 - 60,457905 = 16,188895$ , тонн,

--------------------------------------------------------------------------------
Вернёмся к задаче, было изначально в $0$ момент,

$20$ тонн - плутоний-239-й,
$80$ тонн - уран-238-й.

через 3 года-

$22$ тонны - плутоний-239-й,
$73$ тонны - уран-238-й,
$5$ тонн- отходы от плутоний-239,

ответ на вопрос задачи- оптимальное время, масса плутония-239 максимальна-

через $9,177107$ лет-

$23,3532$ тонны - плутоний-239-й,
$60,4579$ тонны - уран-238-й,
$16,1888$ тонн- отходы от плутоний-239,

ЗАДАЧА РЕШЕНА.
--------------------------------------------------------------------------------

За 9 с небольшим лет можно накопить таким реактором лишних $3,3532$ тонны топлива,
Интересно, что будет через $30$ лет? Функции выше известны, выкладки проводить
не буду, сразу результат:

$17,3175$ тонны - плутоний-239-й,
$32,0206$ тонны - уран-238-й,
$50,6619$ тонн- отходы от плутоний-239,

как видим, за $30$ лет, в таком реакторе половина массы становятся отходами, плутония уже
меньше чем вначале, а т.к. именно он даёт мощность на реакторах АЭС БН, то мощность, всего
реактора, как видим, всё ещё более $80$% от стартовой,

Задача не то чтобы, сложная технически (тут нет дифур с частными производными, и т.п.,
но рутинных вычислений всё же много. Дай такую задачу на Олимпиаду по математике,
то можно и по времени не успеть)..