Фокусы парабол

[drug39]

wrest, я сразу ничего не возражал против директрисы, полагая, что Вы чётко понимаете решение. Я встрял потому, что Вы начали излагать доказательство, а в нём видится брешь. Вы используете готовый результат отдельной известной задачи. А именно, задачи о максимальной высоте отскока. Это когда тело находится в свободном падении по параболе, а отскочить оно может не выше, чем директриса параболы. Тут нужно либо признаться, что этот результат берётся готовым, либо нужно доказательство. У Вас доказательства этого нету. Добавлю, чтобы выразить угол наклона линии фокусов понятие директриса знать необязательно.

[wrest]

drug39 в сообщении #1506673 писал(а):

Я встрял потому, что Вы начали излагать доказательство, а в нём видится брешь. Вы используете готовый результат отдельной известной задачи.

Ну да, просто я как бы нахожусь в потоке dxdy и ТС недавно публиковал другую задачу где я отвечал и делал ссылку на другую задачу а в той ссылка ещё на одну.

drug39 в сообщении #1506673 писал(а):

Добавлю, чтобы выразить угол наклона линии фокусов понятие директриса знать необязательно.

Да, наверное. Просто в этом потоке, о котором я писал выше, меня изначально заинтересовала именно геометрическая вневременная часть, как это можно построить, ну и поскольку парабола, геометрически, определена своим фокусом и директрисой как ГМТ равного расстояния дотуда и досюда, для построения циркулем и линейкой -- директриса естественный репер, а факт наличия общей директрисы у парабол равной энергии -- подарок небес.

Так что вы совершенно правы, я не представляю здесь [строгое] доказательство, а опираюсь на "общее знание".

P.S. Больше всего меня в этих задачах удивляет независимость траектории от конретной силы тяжести. Это, в принципе, понятно (наверное) из того, что в траектории исключено время (оно там только как неявный параметр в уравнениях траектории и от его масшаба и даже равномерности ничего не зависит), и наивно кажется, что если сила тяжести больше, то и падать должно всё "резче", но оказывается нет, все просто быстрей по времени, а геометрия та же. И на Луне траектория (этой задачи) будет ровно та же, что и на Земле.

[drug39]

Если ничего не напутал, то угол наклона линии фокусов относительно горизонта
$\alpha$ таков, что выполняется
$ \rm tg \, \alpha = \dfrac {\rm tg (\pi/2-2\vartheta) } {2 cos^2 (2\vartheta)} - {\rm tg (\pi/2-4\vartheta) } $ .
При $\vartheta=\pi/4$ линия фокусов вертикальна. При $\vartheta>\pi/4$ линия фокусов находится слева.

[wrest]

drug39 в сообщении #1506770 писал(а):

$\rm tg \, \alpha = \dfrac {\rm tg (\pi/2-2\vartheta) } {2 cos^2 (2\vartheta)} - {\rm tg (\pi/2-4\vartheta) }$

Это довольно-таки забористый способ написать $\alpha=2\vartheta$

[drug39]

wrest в сообщении #1506780 писал(а):

Это довольно-таки забористый способ написать $\alpha=2\vartheta$

Действительно. Я написал формулу, не применяя директрису, из определения фокуса. Упрощать дальше не пытался. Если воспользоваться свойствами директрисы, то это видно из геометрического построения. Видимо, в этом и есть олимпиадность задачи.

-- Сб фев 27, 2021 09:02:50 --

В связи с этой задачей вспомнилась другая задача по этой теме topic94037.html . Думаю, она не менее олимпиадна.

[wrest]

wrest в сообщении #1506543 писал(а):

Строим-построим

Я тут невзначай научился строить циркулем и линейкой места отскоков мяча от наклонной плоскости.
Чтобы не забыть, я использовал свойство:

Цитата:

Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе

Но сперва пришлось научиться строить пересечение касательных. Одна касательная у нас есть, по правилу угол падения равен углу отражения, она стргится в "первом способе" вот тут:

wrest в сообщении #1506543 писал(а):

5. Откладываем угол отражения в точке О, равный углу падения, красная линия -- направление первого отскока (и касательная к первой параболе).

Но по ходу дела выяснилось ещё одно свойство. Оказывается, если хорда проходит через какую-то точку на оси параболы, то геометрическое место точек пересечения касательных проходящих через концы всех таких хорд -- это прямая. Мне не попадалось такое свойство пока я гуглил всё о параболах. Я научился строить эту прямую и находить точку пересечения касательных имея только две точки хорды: место падения мяча и пересесения наклонной плоскости с осью параболы. Попутно, оказалось что точки пересечения касательных все лежат на одной прямой, а перепендикуляры, проведенные из этих точек к горизоннтали, пересекают параболу в точке касания касательной, проведённой из точки А (из которой мяч падает в самом начале задачи).

Таким образом, похоже, что циркулем и линейкой можно построить все фокусы парабол (траектории мяча) и все точки отскока. Ну и вершины парабол, конечно.

Я ещё тогда хотел построить точки отскока циркулем и линейкой... И вот сейчас получилось!