Функция распределения

[kdm]

Вот такая задачка.

Случайное отклонение X размера детали от номинала распределено по нормальному закону с матеметическим ожиданием x и средним квадратическим отклонением $\sigma$. Годными деталями являются те, для которых a < X < b. Деталями подлежащими переделке, являются те, для которых X > b.

Найти функцию распределения случайных отклонений размеров деталей, подлежащих переделке.

Вроде бы задачка несложная.

Я так понимаю надо воспользоваться формулой вероятности попадания нормально распределенной величины X в интервал (a, b).

Но вот как эту формулу применить для составления функции распределения не понимаю

Подскажите, спасибо

Добавлено спустя 2 часа 17 минут 51 секунду:

может это чем-то поможет.
Ответ к задаче такой:

$\frac {\phi(\frac {x_0 - x} {\sigma}) - \phi(\frac {b - x} {\sigma})}{1 - \phi(\frac {a - x} {\sigma})}, x_0 > b$

Числитель вроде представляет собой вероятность попадания точки в луч x > b
Собственно непонятно почему дробь и откуда 1 в знаменателе.

[GAA]

kdm писал(а):

Я так понимаю надо воспользоваться формулой вероятности попадания нормально распределенной величины X в интервал (a, b).

Нет, надо воспользоваться формулой вероятности попадания нормально распределенной величины X в интервал $(b, \infty)$.

Обозначим функцию нормального распределения через $\Phi_{x, \sigma}(x_0)$. Функция распределения отклонения подлежащих переделке деталей имеет вид
$ F(x_0) = \left\{\begin{array}{l} 0, \quad x_0 < b\\ C\Phi_{x, \sigma}(x_0), \quad x_0 \ge b \end{array} \right$,
где $C$ — нормирующая постоянная, т.е. такая постоянная, что $F(+\infty) = 1$.

Добавлено спустя 20 минут 1 секунду:

Следовательно, $C = \frac{1}{1-\Phi_{x, \sigma}(b)}$.
Дальше нужно выразить результат либо через функцию стандартного нормального распределения $\Phi(x)$, либо через функцию Лапласа.

[kdm]

спасибо, более менее понял. Тогда как раз получается, что:
$\Phi_{x, \sigma}(x_0) = \phi(\frac {x_0 - x} {\sigma}) - \phi(\frac {b - x} {\sigma})$, т.е.вероятность попасть в луч $(b, \infty)$ через функцию стандартного нормального распределения.

А $\Phi_{x, \sigma}(b) = \phi(\frac {b - x} {\sigma})$, через функцию стандартного нормального распределения?

Правильно?

P.S. : А как тогда выразить нормировочную постоянную для случая, когда нужно найти функцию распределения случайных отклонений размеров годных деталей, т.е. $a < x_0 < b$
Тогда:
$ F(x_0) = \left\{\begin{array}{l}0, \quad x_0 < a, x_0 > b\\ C\Phi_{x, \sigma}(x_0), \quad a \leqslant x_0 \leqslant b \end{array} \right$

C - ?

[GAA]

Обычно через $\phi(x)$ обозначают плотность стандартного нормального распределения, а функцию обозначают через $\Phi(x)$ или $\Phi_{0,1}(x)$.

kdm писал(а):

Тогда как раз получается, что:
$\Phi_{x, \sigma}(x_0) = \phi(\frac {x_0 - x} {\sigma}) - \phi(\frac {b - x} {\sigma})$, т.е.вероятность попасть в луч $(b, \infty)$ через функцию стандартного нормального распределения.

У меня не так получается. $\Phi_{x, \sigma}(x_0) = \Phi_{x, \sigma}((x_0 - x)/\sigma)$.

kdm писал(а):

А $\Phi_{x, \sigma}(b) = \phi(\frac {b - x} {\sigma})$, через функцию стандартного нормального распределения?

Да, у меня так же получается.

kdm писал(а):

P.S. : А как тогда выразить нормировочную постоянную для случая, когда нужно найти функцию распределения случайных отклонений размеров годных деталей, т.е. $a < x_0 < b$Тогда:
$ F(x_0) = \left\{\begin{array}{l}0, \quad x_0 < a, x_0 > b\\ C\Phi_{x, \sigma}(x_0), \quad a \leqslant x_0 \leqslant b \end{array} \right$
C - ?

Подобно случаю, рассмотренному выше. Подумайте.

[ewert]

kdm писал(а):

Ответ к задаче такой:

$$\frac {\phi(\frac {x_0 - x} {\sigma}) - \phi(\frac {b - x} {\sigma})}{1 - \phi(\frac {a - x} {\sigma})}, x_0 > b$$

Числитель вроде представляет собой вероятность попадания точки в луч x > b
Собственно непонятно почему дробь и откуда 1 в знаменателе.

Дело в том, что это (и именно по смыслу задачи) -- условная вероятность попадания иксов левее $x_0$ при условии, что они оказались правее $b$.
(В знаменателе должно быть, конечно, $b$, а не $a$.)

[GAA]

Я заврался. Спасибо, ewert.

Добавлено спустя 33 минуты 25 секунд:

Мои извинения kdm. Не пил. Как сущий бред в предыдущих сообщениях умудрился написать — не знаю!

Система, конечно, должна быть записана для плотности
$ f(x_0) = \left\{\begin{array}{l} 0, \quad x_0 < b\\ C\phi_{x, \sigma}(x_0), \quad x_0 \ge b \end{array} \right$,
где $\phi_{x,\sigma}$ — плотность нормальнор распределенной случайной величины с ождиданием $x$ и стандартным отклонением $\sigma$.
Тогда при $x_0 \ge b$ $F(x_0)=\mathsf{P}\{X < x_0\} = C\left(\Phi_{x, \sigma}(x_0) - \Phi_{x, \sigma}(b)\right)$. $C$ находим из условия $F(+\infty) = 1$, учитывая, что $\Phi_{x, \sigma}(+\infty) = 1$.

Еще раз, ewert, спасибо!

[ewert]

Пожалуйста, хотя не очень понятно, за что. Я, честно говоря, в Ваши выкладки внимательно не вчитывался.

Поясню, почему. Нормировка -- оно, конечно, святое, но только если вид плотности заранее известен. А вот это, как мне кажется, не так уж и очевидно. Во всяком случае, в обоснование этого надо произносить какие-то заклинания.

А вот интерпретация функции распределения (т.е. её значений) как условных вероятностей -- лежит на поверхности.

Ну это конечно моё мнение; о вкусах не спорят.

[kdm]

спасибо,большое) из вашей дискуссии вроде бы разобрался, что к чему