Как определить интеграл через умножение двух величин

[geodx]

Уважаемые участники! Подскажите пожалуйста, как сформулировать определение интеграла, но чтобы попроще?

Учусь решать задачи на интегрирование и на составление интегралов.

Можно ли рассматривать интеграл как произведение двух величин, обе из которых меняются, но одна равномерно, а другая неравномерно.

И если встречается задача, в которой нужно перемножить две величины, одна из которых скользит плавно, а другая, зависящая от нее, не обязательно плавно, и потом надо сложить "накопленное действие" - можно смело интегрировать.

[Anton_Peplov]

Интеграл бывает определенный и неопределенный. Вам какой?

[geodx]

Определенный.

[Anton_Peplov]

Пусть дана интегрируемая функция $f(x)$. Если числа $a$ и $b$ зафиксированы, то интеграл $\int \limits_a^b f(x)dx$ - это просто число. Не функция от $x$.

[Утундрий]

geodx в сообщении #1661455 писал(а):

как сформулировать определение интеграла, но чтобы попроще?

Интеграл это офигевшая сумма.

[geodx]

Anton_Peplov в сообщении #1661460 писал(а):

Пусть дана интегрируемая функция $f(x)$. Если числа $a$ и $b$ зафиксированы, то интеграл $\int \limits_a^b f(x)dx$ - это просто число. Не функция от $x$.

Ну я имел в виду - на малом участке числа зафиксированы, а уже на другом участке одно число меняется на одну и ту же величину, а другое меняется как угодно.

[Anton_Peplov]

geodx
Давайте конкретно.
Пусть $f(x) = x^2, a = 1, b = 2$. Тогда $\int \limits_a^b f(x)dx = \int \limits_1^2 x^2 dx = \dfrac{2^3}{3} - \dfrac{1^3}{3} = \dfrac{8-1}{3} = \dfrac{7}{3}$. Получилось число $\dfrac{7}{3}$, просто число. Приложите Ваши рассуждения к этому примеру. Какие числа на каком малом участке тут зафиксированы, что где меняется на какую величину?

[geodx]

$x$ зафиксировано (зависит от меcтоположения на оси $oX$). $ f(x)$ тоже зафиксировано, но пропорционально $x$.
Потом переходим к другому $x$, оно возрастает (плавно). $f(x)$ меняется, но уже неплавно.
Потом перемножаем $x$ на $f(x)$.
Потом прибавляем полученное произведение к предыдущему произведению.

Рассмотрим задачу на составление интеграла, для простоты одномерную. Ищем параметр, от которого зависит задача (это $x$, он как бы управляет всей задачей).

Ищем второй параметр, который управляет задачей. Но это дополнительный параметр, он зависит от $x$.

Дальше перемножаем и складываем все произведения.

[sergey zhukov]

geodx
Да просто представляете сначала, как задача решается приблизительно. Например, разобъем непрерывную величину на части, некие переменные параметры считаем примерно постоянными в пределах каждой части и т.д. Это уже дает приблизительное решение задачи. А потом говорим "Переходим к пределу, заменим сумму интегралом", и все становится точным.

Это же все очень наглядно. Вы же видели эти картинки, где площадь под кривой находится путем приближения ее множеством прямоугольников. Посчитайте в екселе, например, пару задач численно, т.е. именно методом "разобъем задачу на конечное множество малых частей и найдем соответствующую сумму" чтобы лучше почувствовать, как это работает. Посмотрите, насколько быстро эта сумма сходится к своему предельному значению с увеличением числа частей.

-- 15.11.2024, 12:20 --

geodx в сообщении #1661455 писал(а):

Можно ли рассматривать интеграл как произведение двух величин, обе из которых меняются, но одна равномерно, а другая неравномерно.

Тут правильнее говорить, что просто одна величина непрерывно зависит от другой. Равномерно или неравномерно - это сюда приплетать не надо.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы)

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[geodx]

sergey zhukov в сообщении #1661498 писал(а):

geodx
Да просто представляете сначала, как задача решается приблизительно. Например, разобъем непрерывную величину на части, некие переменные параметры считаем примерно постоянными в пределах каждой части и т.д. Это уже дает приблизительное решение задачи. А потом говорим "Переходим к пределу, заменим сумму интегралом", и все становится точным.

Это же все очень наглядно. Вы же видели эти картинки, где площадь под кривой находится путем приближения ее множеством прямоугольников. Посчитайте в екселе, например, пару задач численно, т.е. именно методом "разобъем задачу на конечное множество малых частей и найдем соответствующую сумму" чтобы лучше почувствовать, как это работает. Посмотрите, насколько быстро эта сумма сходится к своему предельному значению с увеличением числа частей.

Нужно сперва смотреть величину, от которой все зависит. Потом искать величины, от которых тоже зависит, но они зависят от первой - самой главной. И вот их-то на малом участке считаем постоянными.

[sergey zhukov]

geodx
Ну если так понятнее, то ради бога.