Вывод спектра выходного сигнала ЦАП аналитически

[Kevsh]

Пусть мы хотим выдать синус на ЦАП, он будет выглядеть примерно так (красный сигнал):

Я нашёл в интернете кучу картинок, где изображается спектр такого сигнала. Но вот вывода этого спектра я найти не могу. Решил вывести. Вот так можно записать это сигнал (если сдвинуть ось ординат на половину периода дискретизации вправо):
$\sum\limits_{k=0}^{a}s_1(t-kT_s)\sin{(\omega kT_s)}$
Тут $s_1(t)=1$ при $-\frac{T_s}{2}\leq t\leq \frac{T_s}{2}$ и $s_1(t)=0$ в остальных случаях.
Реальный сигнал конечен, да и период синуса не всегда будет равен периоду дискретизации, так что $a$ это произвольное, достаточно больше натуральное число.
Как посчитать спектр такого сигнала? Применим преобразование Фурье:
$S(j\omega)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}$\sum\limits_{k=0}^{a}s_1(t-kT_s)\sin{(\omega kT_s)}e^{-j\omega t}dt$
Если переставлять местами знаки суммирования и интегрирования можно (в чём я сомневаюсь), то спектр будет равен
$S(j\omega)=\sum\limits_{k=0}^{a}\sin{(\omega kT_s)}S_1(j\omega)e^{-jkT_s}$, где $S_1(j\omega)=T_s \frac{\sin{\frac{\omega T_s}{2}}}{\frac{\omega T_s}{2}}$
То есть по сути (если смотреть только на амплитудный спектр) мы получаем сумму модулей sinc-функции, каждый из которых умножен на отсчёт синуса... чушь какая-то. Где я ошибаюсь?

[Kevsh]

Вот, что в итоге у меня получилось:
1) Я немного ошибся и забыл добавить в степень экспоненты $\omega$.
2) Итоговое преобразование можно записать так:
$S(j\omega)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}\sin{(\omega nT_s)}S_1(j\omega)e^{-j\omega nT_s} = S_1(j\omega)\sum\limits_{n=0}^{N-1}\sin{(\omega nT_s)}e^{-j\omega nT_s}$, где $S_1(j\omega)=T_s \frac{\sin{\frac{\omega T_s}{2}}}{\frac{\omega T_s}{2}}$
То есть получаем произведение спектра прямоугольного импульса и по большому счёту дискретного спектра синуса. Рассмотрим подробнее дискретный спектр:
$\sum\limits_{n=0}^{N-1}\sin{(\omega nT_s)}e^{-j\omega nT_s}=\sum\limits_{n=0}^{N-1}\sin{(\omega nT_s)}e^{-j\frac{2\pi}{T_N}kT_sn}=\sum\limits_{n=0}^{N-1}\sin{(\omega nT_s)}e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}$, при $T_N=T_sN$
НО:
это при условии, что $k\geq 0$ и $k$ НЕ натуральное. Вот если бы оно было натуральным, мы бы получили по сути в чистом виде дискретный спектр. То есть при выполнении дискретного преобразования Фурье мы сначала берём гармонику, период которой равен $N$ дискретных отсчётов, потом гармоники с периодами $N/2$, $N/3$ и так далее до $N/(N-1)$. В нашем же случае мы берём не только эти частоты, но и те, что между ними.
В итоге у нас получается дискретный спектр того, что мы подаём на ЦАП (в данном случае это синус), умноженный на спектр прямоугольного импульса шириной $T_s$.