Вывод спектра выходного сигнала ЦАП аналитически

[Kevsh]

Пусть мы хотим выдать синус на ЦАП, он будет выглядеть примерно так (красный сигнал):

Я нашёл в интернете кучу картинок, где изображается спектр такого сигнала. Но вот вывода этого спектра я найти не могу. Решил вывести. Вот так можно записать это сигнал (если сдвинуть ось ординат на половину периода дискретизации вправо):
$\sum\limits_{k=0}^{a}s_1(t-kT_s)\sin{(\omega kT_s)}$
Тут $s_1(t)=1$ при $-\frac{T_s}{2}\leq t\leq \frac{T_s}{2}$ и $s_1(t)=0$ в остальных случаях.
Реальный сигнал конечен, да и период синуса не всегда будет равен периоду дискретизации, так что $a$ это произвольное, достаточно больше натуральное число.
Как посчитать спектр такого сигнала? Применим преобразование Фурье:
$S(j\omega)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}$\sum\limits_{k=0}^{a}s_1(t-kT_s)\sin{(\omega kT_s)}e^{-j\omega t}dt$
Если переставлять местами знаки суммирования и интегрирования можно (в чём я сомневаюсь), то спектр будет равен
$S(j\omega)=\sum\limits_{k=0}^{a}\sin{(\omega kT_s)}S_1(j\omega)e^{-jkT_s}$, где $S_1(j\omega)=T_s \frac{\sin{\frac{\omega T_s}{2}}}{\frac{\omega T_s}{2}}$
То есть по сути (если смотреть только на амплитудный спектр) мы получаем сумму модулей sinc-функции, каждый из которых умножен на отсчёт синуса... чушь какая-то. Где я ошибаюсь?