квантовомеханическая брахистохрона

[reterty]

Прошу помочь сформулировать некий квантовомеханический аналог задачи о брахистохроне. Возможно, необходимо будет использовать формализм интеграла Фейнмана по траекториям.
Что приходит в голову: имеется частица в однородном потенциальном поле. Решения соответствующего уравнения Шредингера: суть функции Эйри. Далее: попробовать рассмотреть что-то типа квазиклассического приближения...

[drzewo]

что такое идеальная связь в квантмеханической системе -- вот это основной вопрос

[reterty]

тут немного другой акцент: минимизировать среднее квантовомеханическое значение времени перехода... среди фиксированной начальной волновой функции и всех возможных конечных целевых состояний

[pppppppo_98]

reterty в сообщении #1660741 писал(а):

минимизировать среднее квантовомеханическое значение времени перехода

а ак определяется среднее время перехода в КМ? Не подскажите? Не оно конечно так - в первой же статьн\е по КМ ейный отец воспользовался вариационным исчислением и решил записал таки свое таки знаменитое уравнение в стационарной форме.. Но и все. Уравнение то реарого порядка по времени - как записать вариационную задачу для уранений первого порядка вопрос нетривильный.... Да и сама постановка заставляет задумать об адекватности - волновые функции не наблюдаемы - как их фиксировать на границах? а чо сфащовым множителем делать?

[svv]

pppppppo_98 в сообщении #1660900 писал(а):

Уравнение то реарого порядка по времени

В метрике Хэмминга расстояние от подчёркнутого слова до слов "первого" и "второго" (наиболее вероятных кандидатов) одинаково и равно трём. В такой ситуации нам, биокиберам устаревших моделей, особенно тяжело, так как наш мозг, не будучи в состоянии распознать слово, испытывает большие перегрузки и может даже сломаться. Прошу Вас, проверяйте написанное перед отправкой.

(Оффтоп)

pppppppo_98 в сообщении #1660900 писал(а):

а ак ... статьн\е ... реарого ... уранений ... нетривильный ... чо сфащовым ...

[Dashik007]

svv в сообщении #1660919 писал(а):

В метрике Хэмминга
расстояние от подчёркнутого слова до слов "первого" и "второго" (наиболее вероятных кандидатов) одинаково и равно трём.

Хотя из других соображений, первое будет поближе Есть ер - метатеза к ре

-- 08.11.2024, 03:37 --

(Оффтоп)

Если поглядеть на раскладку, то логика движения пальцев такая - вместо вверх вниз-направо (пер) почти зеркалка реа, и далее тоже почти зеркалим, начиная не с в, а р

[Утундрий]

Как по мне, комментарий pppppppo_98 вполне адекватен обсуждаемому вопросу.

[Red_Herring]

pppppppo_98 в сообщении #1660900 писал(а):

Уравнение то первого порядка по времени - как записать вариационную задачу для уравнений первого порядка вопрос нетривиальный..

Для Шредингера известно как функционал записать

$$\int \Bigl(\operatorname{Im} \bar{\psi}\psi_t -|\nabla \psi|^2 -V(x) |\psi|^2 \Bigr)\,dxdc $$

(тут фокус в том, что волновая функция комплексная)

[pppppppo_98]

B

Red_Herring в сообщении #1660927 писал(а):

Для Шредингера известно как функционал записать

ну записали (я еще в первом сообщении вспомнил об ууравнении Дирака и его действии)... А чем смысл?

Если брать изначальную статью Шредингера ему не было известно пространственное распределение в.ф. и он решал вариационную задачу минимизации функционала $\int dx\, \psi^\dagger(\Delta +V(x))\psi\rightarrow \textrm{extremum}$.

А что здесь? раскладываем в.ф. по ортононормальному базису cобственных функций гамильтониана $(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta +V(x))\psi_i(x)=\omega_i \psi_i(x)$ (лениво писать суммы поэтому буду далее пользоваться конвенцией эйнштейна об индексах). $\psi_i(x)=\a_i(t) \psi_i(x)$ . Тогда ваше выражение запишется интегрирования с учетом условия ортонормированности $\langle\psi_i|\psi_j\rangle = \int dx\, \bar{\psi}_i(x)\psi_j(x) = \delta_{ij}$

$$ S[\psi(x,t)]=\int dt\,\left\{\frac{1}{2 i}\left(-\bar{a}_i(t)\dot{a}_i(t)+\dot{\bar{a}}_i(t) a_i(t)\right)-\omega_i\bar{a_i(t)}a_i(t)\right\}$$

. Это квадратичная форма , результат ее вариьирования тривиален ...Получаем уравнения что то типа $\dot{a}=-i\omega_i a;\, \dot{\bar{a}}=i\omega_i \bar{a}$. В чем правда брат? (с)

Это только пол проблемы, вторая полупроблема более существенно с физической точки зрения. Топикстатрер предлагает зафиксировать начальное и конечное состояние процесса. Отлично, отлично... Итак записываем граничные условия $\psi(x,t_0)=\psi_0(x); \psi(x,t_1)=\psi_1(x)$ А теперь вспоминаем что волновая функция ненаблюдаема , описывает с точность до фазы - своей фазы на каждом из концов, то есть вышеназванная пара граничных условий и вот такая пара граничных условий $\psi(x,t_0)=\psi_0(x); \psi(x,t_1)=e^{i\lambda}\psi_1(x)$, якобы должны описать переход одинаковые переходы из одного состояния в другое при любом $\lambda$. Сразу видно что это будут разные решения...

Так шо продолжаем поиск смысла... Это к тому шо стартертопик таки не описал как определить ансамбль усреднения для расчета времени

[Утундрий]

pppppppo_98 в сообщении #1660966 писал(а):

стартертопик таки не описал как определить ансамбль усреднения для расчета времени

И не опишут. Оне желают, чтобы им тут "интересненькую задачку" поставили, решили и объяснили так, чтобы им понятно стало. Так что — трудитесь, Солнце ещё высоко.

[drzewo]

Думаю, что все дело в наложении дополнительных идеальных в каком-то смысле связей. Иначе не надо назвать это задачей о брахистохроне. В конечномерных системах это делается просто -- я тут как-то ветку открывал про брахистохрону, там можно посмотреть. Как обобщать данный формализм на бесконечномерный случай непонятно. И это интересный вопрос. Безотносительно к квантовой механике.

-- 08.11.2024, 21:49 --

Впрочем нет, не так уж непонятно. Главное иметь лагранжиан