2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость синуса от квадратичного аргумента
Сообщение01.11.2024, 13:51 


14/11/21
52
Исследуйте ряд на сходимость
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{\pi\left(n^2-1\right)}{n^2+1}
$$

Моё решение:
$(1)$
$$
\frac{\pi(n^2-1)}{n^2+1} = \frac{\pi n^2 - \pi}{n^2 + 1} = \pi \left(1 - \frac{2}{n^2 + 1}\right) \quad \text{при } n \to \infty.
$$


$(2)$
При больших n
$$
\sin \frac{\pi(n^2-1)}{n^2+1} \approx \frac{\pi(n^2-1)}{n^2+1}.
$$

$(3)$
Все члены ряда положительны, кроме интервалов, которые нам неинтересны

$(4)$
Для любого номера, можем оценить последовательность снизу

$$\pi \left(1 - \frac{2}{n^2 + 1}\right) \leq a_n$$

$(5)$
Тогда по теореме о признаке сравнения: ряд расходится.

Я права?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость синуса от квадратичного аргумента
Сообщение01.11.2024, 14:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
DariaRychenkova в сообщении #1660283 писал(а):
$\sin \frac{\pi(n^2-1)}{n^2+1} \approx \frac{\pi(n^2-1)}{n^2+1}.$
Вы уверены, что при синус оказывается примерно равным $\pi$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость синуса от квадратичного аргумента
Сообщение01.11.2024, 14:13 


14/11/21
52
mihaild
Нет, слишком большой аргумент...
Можете подсказать, как оценить

-- 01.11.2024, 14:17 --

mihaild

Сейчас попробую сделать переход по формуле синуса разности

-- 01.11.2024, 14:19 --

Члены исходного ряда можно переписать в виде:

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{2\pi}{n^2+1}
$$

-- 01.11.2024, 14:23 --

Ну и получается, что при больших "n" можно оценить сверху $O\left(\frac{1}{n^2}\right)$

-- 01.11.2024, 14:23 --

Значит сходится? :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group