Сходимость синуса от квадратичного аргумента

[DariaRychenkova]

Исследуйте ряд на сходимость

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{\pi\left(n^2-1\right)}{n^2+1} $$

Моё решение:
$(1)$

$$ \frac{\pi(n^2-1)}{n^2+1} = \frac{\pi n^2 - \pi}{n^2 + 1} = \pi \left(1 - \frac{2}{n^2 + 1}\right) \quad \text{при } n \to \infty. $$

$(2)$
При больших n

$$ \sin \frac{\pi(n^2-1)}{n^2+1} \approx \frac{\pi(n^2-1)}{n^2+1}. $$

$(3)$
Все члены ряда положительны, кроме интервалов, которые нам неинтересны

$(4)$
Для любого номера, можем оценить последовательность снизу

$$\pi \left(1 - \frac{2}{n^2 + 1}\right) \leq a_n$$

$(5)$
Тогда по теореме о признаке сравнения: ряд расходится.

Я права?

[mihaild]

DariaRychenkova в сообщении #1660283 писал(а):

$\sin \frac{\pi(n^2-1)}{n^2+1} \approx \frac{\pi(n^2-1)}{n^2+1}.$

Вы уверены, что при синус оказывается примерно равным $\pi$?

[DariaRychenkova]

mihaild
Нет, слишком большой аргумент...
Можете подсказать, как оценить

-- 01.11.2024, 14:17 --

mihaild

Сейчас попробую сделать переход по формуле синуса разности

-- 01.11.2024, 14:19 --

Члены исходного ряда можно переписать в виде:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{2\pi}{n^2+1} $$

-- 01.11.2024, 14:23 --

Ну и получается, что при больших "n" можно оценить сверху $O\left(\frac{1}{n^2}\right)$

-- 01.11.2024, 14:23 --

Значит сходится?