2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 00:09 


26/09/17
341
С учетом полученных замечаний и обсуждения задачи в лс привожу ее строгую формулировку:

Пусть функция $f(n,m)$ определена на $\mathbb Z^2$.
Требуется найти практический метод вычисления комплекснозначной функции $F(x,y)$ такой, что:
1) $x,y\in \mathbb R$;
2) $F\in C^\infty$;
3) $F(x,y)=f(n,m)$ iff $x=n\wedge y=m$;
4) $\lVert F\rVert=\lVert f \rVert$.

В целом, искомое преобразование можно определить в виде:
$T: (\mathbb Z^2\to\mathbb R)\to (\mathbb R^2\to\mathbb C)$,
причем выполняются условия 1-4.

Буду рад любой помощи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 02:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9172
Цюрих
maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):
$F\in C^\infty$;
Дифференцируемость в вещественном смысле?
maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):
$F(x,y)=f(n,m)$ iff $x=n\wedge y=m$;
Тут точно в обе стороны? В частности, если $f(0, 0) = f(1, 1)$, то функции не существует?
maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):
4) $\lVert F\rVert=\lVert f \rVert$.
А какая норма рассматривается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 08:02 
Заслуженный участник


07/08/23
1130
Предлагаю взять $F(x, y) = \sum_{n, m} f(n, m) h(x - n) h(y - m)$, где $h$ - бесконечно гладкая вещественнозначная функция одной переменной с носителем в $[-1, 1]$, причём $h(x) \geq 0$, $h(0) = 1$ её максимум и $h(x) + h(1 + x) \leq 1$. Это если норма в пункте 4 является супремумом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 13:28 


26/09/17
341
mihaild в сообщении #1660145 писал(а):
maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):
$F\in C^\infty$;
Дифференцируемость в вещественном смысле?
maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):
$F(x,y)=f(n,m)$ iff $x=n\wedge y=m$;
Тут точно в обе стороны? В частности, если $f(0, 0) = f(1, 1)$, то функции не существует?
maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):
4) $\lVert F\rVert=\lVert f \rVert$.
А какая норма рассматривается?

Да, да, длина вектора. Для комплекснозначной функции $F(x,y)$ это ее максимальное по модулю значение.

-- 31.10.2024, 14:36 --

dgwuqtj в сообщении #1660149 писал(а):
Предлагаю взять $F(x, y) = \sum_{n, m} f(n, m) h(x - n) h(y - m)$, где $h$ - бесконечно гладкая вещественнозначная функция одной переменной с носителем в $[-1, 1]$, причём $h(x) \geq 0$, $h(0) = 1$ её максимум и $h(x) + h(1 + x) \leq 1$. Это если норма в пункте 4 является супремумом.

Если функция $ h $ вещественна, то и определенная таким образом $F$ тоже вещественна, что не соответствует условию задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 13:49 
Заслуженный участник


07/08/23
1130
maximkarimov в сообщении #1660165 писал(а):
Если функция $ h $ вещественна, то и определенная таким образом $F$ тоже вещественна, что не соответствует условию задачи.

Так ведь $\mathbb R \subseteq \mathbb C$, то есть любая вещественнозначная функция будет и комплекснозначной. Вы в одномерном случае $f(2 k) = 0$, $f(2 k + 1) = 1$ что ожидаете получить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 13:57 


26/09/17
341
dgwuqtj в сообщении #1660167 писал(а):
maximkarimov в сообщении #1660165 писал(а):
Если функция $ h $ вещественна, то и определенная таким образом $F$ тоже вещественна, что не соответствует условию задачи.

Так ведь $\mathbb R \subseteq \mathbb C$, то есть любая вещественнозначная функция будет и комплекснозначной. Вы в одномерном случае $f(2 k) = 0$, $f(2 k + 1) = 1$ что ожидаете получить?

No comments.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 14:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9172
Цюрих
maximkarimov в сообщении #1660165 писал(а):
длина вектора. Для комплекснозначной функции $F(x,y)$ это ее максимальное по модулю значение
Вообще "длина вектора" - это и есть норма, поэтому на вопрос "какая норма" нельзя отвечать "длина". Хорошо, супремум-норма.
maximkarimov в сообщении #1660170 писал(а):
No comments
Что, простите?
maximkarimov в сообщении #1660165 писал(а):
В частности, если $f(0, 0) = f(1, 1)$, то функции не существует?
maximkarimov в сообщении #1660165 писал(а):
да
maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):
найти практический метод вычисления комплекснозначной функции
Для начала тогда нужен практический метод проверки, что у $f$ все значения различны. Или это гарантируется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 14:21 


26/09/17
341
[/quote]Для начала тогда нужен практический метод проверки, что у $f$ все значения различны. Или это гарантируется?[/quote]
Да, гарантируется и мне следовало указать это как условие на $f(n,m)$. Спасибо за уточнение!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 15:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9172
Цюрих
И чем Вас не устраивает вариант dgwuqtj?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 15:25 


26/09/17
341
mihaild в сообщении #1660178 писал(а):
И чем Вас не устраивает вариант dgwuqtj?

Я уже отвечал на вопрос dgwuqtj обосновывая необходимость перехода в комплексную область. Поскольку вопрос поднимается вновь, дополню свой предшествующий ответ следующим замечанием. Во многих случаях переход в комплексную область не только облегчает численные расчеты (решение дифференциальных уравнений), но и открывает совершенно новые возможности для исследования свойств моделируемых объектов (процессов). Более того, существуют объекты (процессы), полноценное описание которых возможно только в комплексной области и если некоторые не сталкивались в практике своей работы ни с первой, ни со второй ни с третьей задачей, то это не значит что их не существует.

С учетом сказанного считаю уместным прекратить развитие дискуссии в данном направлении.

P.S. Можно определить условие равенства нулю мнимой части $F $ только в целых, однако с учетом условия 3) и указанием для $F$ области прибытия $\mathbb{C}$ думаю это избыточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 15:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9172
Цюрих
maximkarimov в сообщении #1660180 писал(а):
Во многих случаях переход в комплексную область не только облегчает численные расчеты (решение дифференциальных уравнений), но и открывает совершенно новые возможности для исследования свойств моделируемых процессов
Вот только это должен быть не абы какой переход, а с какими-то хорошими свойствами. Как правило - с аналитичностью. Ничего полезного просто из неравенства нулю мнимой части Вы не получите.

Домножьте его функцию на $\exp(2 \pi i (x^2 + y^3))$, станет лучше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 15:50 


26/09/17
341
Полностью согласен. Как бы Вы определили такое "хорошее" свойство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 16:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9172
Цюрих
Зависит от того, что Вы хотите делать с этим дальше. Аналитичности всё равно не получится.
В целом, идея "есть функция на решетке, давайте возьмем какое попадется ее продолжение на всю плоскость чтобы решить неизвестно какую задачу" выглядит странной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 20:08 


26/09/17
341
Уважаемый mihaild, спасибо Вам за важные замечания и уточнения. Мне нужен таймаут чтобы обдумать дополнительные ограничения на $ F$, которые бы отсекали "абы какие" переходы в $\mathbb{C}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 20:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12566
Пока что я вижу только банальную задачу интерполяции функции двух переменных, зачем-то отягощённую догматическим условием комплекснозначности. Потому, видите ли, что
maximkarimov в сообщении #1660180 писал(а):
Во многих случаях переход в комплексную область не только облегчает численные расчеты (решение дифференциальных уравнений), но и открывает совершенно новые возможности для исследования свойств моделируемых объектов (процессов)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group