Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении

[maximkarimov]

С учетом полученных замечаний и обсуждения задачи в лс привожу ее строгую формулировку:

Пусть функция $f(n,m)$ определена на $\mathbb Z^2$.
Требуется найти практический метод вычисления комплекснозначной функции $F(x,y)$ такой, что:
1) $x,y\in \mathbb R$;
2) $F\in C^\infty$;
3) $F(x,y)=f(n,m)$ iff $x=n\wedge y=m$;
4) $\lVert F\rVert=\lVert f \rVert$.

В целом, искомое преобразование можно определить в виде:
$T: (\mathbb Z^2\to\mathbb R)\to (\mathbb R^2\to\mathbb C)$,
причем выполняются условия 1-4.

Буду рад любой помощи.

[mihaild]

maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):

$F\in C^\infty$;

Дифференцируемость в вещественном смысле?

maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):

$F(x,y)=f(n,m)$ iff $x=n\wedge y=m$;

Тут точно в обе стороны? В частности, если $f(0, 0) = f(1, 1)$, то функции не существует?

maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):

4) $\lVert F\rVert=\lVert f \rVert$.

А какая норма рассматривается?

[dgwuqtj]

Предлагаю взять $F(x, y) = \sum_{n, m} f(n, m) h(x - n) h(y - m)$, где $h$ - бесконечно гладкая вещественнозначная функция одной переменной с носителем в $[-1, 1]$, причём $h(x) \geq 0$, $h(0) = 1$ её максимум и $h(x) + h(1 + x) \leq 1$. Это если норма в пункте 4 является супремумом.

[maximkarimov]

mihaild в сообщении #1660145 писал(а):

maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):

$F\in C^\infty$;

Дифференцируемость в вещественном смысле?

maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):

$F(x,y)=f(n,m)$ iff $x=n\wedge y=m$;

Тут точно в обе стороны? В частности, если $f(0, 0) = f(1, 1)$, то функции не существует?

maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):

4) $\lVert F\rVert=\lVert f \rVert$.

А какая норма рассматривается?

Да, да, длина вектора. Для комплекснозначной функции $F(x,y)$ это ее максимальное по модулю значение.

-- 31.10.2024, 14:36 --

dgwuqtj в сообщении #1660149 писал(а):

Предлагаю взять $F(x, y) = \sum_{n, m} f(n, m) h(x - n) h(y - m)$, где $h$ - бесконечно гладкая вещественнозначная функция одной переменной с носителем в $[-1, 1]$, причём $h(x) \geq 0$, $h(0) = 1$ её максимум и $h(x) + h(1 + x) \leq 1$. Это если норма в пункте 4 является супремумом.

Если функция $ h $ вещественна, то и определенная таким образом $F$ тоже вещественна, что не соответствует условию задачи.

[dgwuqtj]

maximkarimov в сообщении #1660165 писал(а):

Если функция $ h $ вещественна, то и определенная таким образом $F$ тоже вещественна, что не соответствует условию задачи.

Так ведь $\mathbb R \subseteq \mathbb C$, то есть любая вещественнозначная функция будет и комплекснозначной. Вы в одномерном случае $f(2 k) = 0$, $f(2 k + 1) = 1$ что ожидаете получить?

[maximkarimov]

dgwuqtj в сообщении #1660167 писал(а):

maximkarimov в сообщении #1660165 писал(а):

Если функция $ h $ вещественна, то и определенная таким образом $F$ тоже вещественна, что не соответствует условию задачи.

Так ведь $\mathbb R \subseteq \mathbb C$, то есть любая вещественнозначная функция будет и комплекснозначной. Вы в одномерном случае $f(2 k) = 0$, $f(2 k + 1) = 1$ что ожидаете получить?

No comments.

[mihaild]

maximkarimov в сообщении #1660165 писал(а):

длина вектора. Для комплекснозначной функции $F(x,y)$ это ее максимальное по модулю значение

Вообще "длина вектора" - это и есть норма, поэтому на вопрос "какая норма" нельзя отвечать "длина". Хорошо, супремум-норма.

maximkarimov в сообщении #1660170 писал(а):

No comments

Что, простите?

maximkarimov в сообщении #1660165 писал(а):

В частности, если $f(0, 0) = f(1, 1)$, то функции не существует?

maximkarimov в сообщении #1660165 писал(а):

да

maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):

найти практический метод вычисления комплекснозначной функции

Для начала тогда нужен практический метод проверки, что у $f$ все значения различны. Или это гарантируется?

[maximkarimov]

[/quote]Для начала тогда нужен практический метод проверки, что у $f$ все значения различны. Или это гарантируется?[/quote]
Да, гарантируется и мне следовало указать это как условие на $f(n,m)$. Спасибо за уточнение!

[mihaild]

И чем Вас не устраивает вариант dgwuqtj?

[maximkarimov]

mihaild в сообщении #1660178 писал(а):

И чем Вас не устраивает вариант dgwuqtj?

Я уже отвечал на вопрос dgwuqtj обосновывая необходимость перехода в комплексную область. Поскольку вопрос поднимается вновь, дополню свой предшествующий ответ следующим замечанием. Во многих случаях переход в комплексную область не только облегчает численные расчеты (решение дифференциальных уравнений), но и открывает совершенно новые возможности для исследования свойств моделируемых объектов (процессов). Более того, существуют объекты (процессы), полноценное описание которых возможно только в комплексной области и если некоторые не сталкивались в практике своей работы ни с первой, ни со второй ни с третьей задачей, то это не значит что их не существует.

С учетом сказанного считаю уместным прекратить развитие дискуссии в данном направлении.

P.S. Можно определить условие равенства нулю мнимой части $F $ только в целых, однако с учетом условия 3) и указанием для $F$ области прибытия $\mathbb{C}$ думаю это избыточно.

[mihaild]

maximkarimov в сообщении #1660180 писал(а):

Во многих случаях переход в комплексную область не только облегчает численные расчеты (решение дифференциальных уравнений), но и открывает совершенно новые возможности для исследования свойств моделируемых процессов

Вот только это должен быть не абы какой переход, а с какими-то хорошими свойствами. Как правило - с аналитичностью. Ничего полезного просто из неравенства нулю мнимой части Вы не получите.

Домножьте его функцию на $\exp(2 \pi i (x^2 + y^3))$, станет лучше?

[maximkarimov]

Полностью согласен. Как бы Вы определили такое "хорошее" свойство?

[mihaild]

Зависит от того, что Вы хотите делать с этим дальше. Аналитичности всё равно не получится.
В целом, идея "есть функция на решетке, давайте возьмем какое попадется ее продолжение на всю плоскость чтобы решить неизвестно какую задачу" выглядит странной.

[maximkarimov]

Уважаемый mihaild, спасибо Вам за важные замечания и уточнения. Мне нужен таймаут чтобы обдумать дополнительные ограничения на $ F$, которые бы отсекали "абы какие" переходы в $\mathbb{C}$.

[Утундрий]

Пока что я вижу только банальную задачу интерполяции функции двух переменных, зачем-то отягощённую догматическим условием комплекснозначности. Потому, видите ли, что

maximkarimov в сообщении #1660180 писал(а):

Во многих случаях переход в комплексную область не только облегчает численные расчеты (решение дифференциальных уравнений), но и открывает совершенно новые возможности для исследования свойств моделируемых объектов (процессов)