Как представить экспоненту через интегрирование наглядно

[wxthplvl65]

Уважаемые участники! Производная экспоненты - это тоже экспонента. Это можно представить так: есть какая-то величина, скорость ее роста пропорциональна самой этой величине. Размножаются мухи. Чем больше мух, тем быстрее они размножаются, тем больше их становится, тем сильнее они размножаются и так далее лавинообразно.

А какой процесс можно придумать для интегрирования экспоненты? Интеграл экспоненты - это тоже экспонента. То есть площадь под экспонентой растет тоже как экспонента.

Может какая-нибудь нагрузка на плотину? Растет высота плотины - растет сечение бетона, из которого сделана плотина?

[zykov]

wxthplvl65 в сообщении #1660106 писал(а):

Это можно представить так: есть какая-то величина, скорость ее роста пропорциональна самой этой величине

Называется дифур $y'=k y$.

[drzewo]

Добавлю. Решение $x(t)$ задачи Коши $\dot x=x,\quad x(0)=1$ можно взять за определение экспоненты: $\exp t:=x(t)$.

[EUgeneUS]

wxthplvl65 в сообщении #1660106 писал(а):

А какой процесс можно придумать для интегрирования экспоненты?

Всё тоже самое, только наоборот (с)

Пусть "некая величина" - это и есть "скорость", например, скорость размножения мух. И это - экспонента.
Тогда "количество", например, количество мух это интеграл от экспоненты.

[Утундрий]

То есть, если мухи дохнут — это экспонента, а если не дохнут, то тоже экспонента? Философичненько!

[EUgeneUS]

Утундрий
Если мухи дохнут, то это логистическая кривая

Цитата:

После публикации статьи о скорости роста населения США [3], Пирл осуществил в своей лаборатории широкомасштабную программу исследований популяции плодовых мух дрозофилы (Drosophila melanogaster).

Опыты, проведенные с целью определить по какой траектории увеличивается численность популяции мух в ограниченном пространстве и при ограниченных пищевых ресурсах, показали, что в лабораторных условиях колония мух дрозофилы демонстрирует рост по траектории логистической кривой[5].

[wxthplvl65]

EUgeneUS в сообщении #1660118 писал(а):

Пусть "некая величина" - это и есть "скорость", например, скорость размножения мух. И это - экспонента.
Тогда "количество", например, количество мух это интеграл от экспоненты.

Не, это можно отнести к любой функции. Надо именно для экспоненты, обладающей уникальными свойствами.

[wrest]

wxthplvl65

wxthplvl65 в сообщении #1660142 писал(а):

Надо именно для экспоненты, обладающей уникальными свойствами.

Синусы и косинусы обладают теми же, по сути, свойствами...

[wxthplvl65]

Ну синусы и косинусы другими свойствами обладают.

[Евгений Машеров]

Жадный и трусливыйБережливый и предусмотрительный рантье живёт на проценты с капитала, оставленного дедушкой-пиратом, не трогая тело вклада. Причём все не проедает, а из 6% годовых, выплачиваемых банком, половину кладёт на тот же счёт, так что тот прирастает по экспоненте на 3% в год, треть тратит на себя, а шестую часть вкладывает в золото. Как меняется сумма в сейфе, принимая, что цена золота неизменна (для правдоподобия предположения - дело происходит в XIX веке)?

[EUgeneUS]

[wrest]

wxthplvl65 в сообщении #1660146 писал(а):

Ну синусы и косинусы другими свойствами обладают.

Зависит от точки зрения
$\int e^x dx=e^x+C$
Но
$\frac{1}{2i}\int \limits_{-iz}^{iz}e^x dx= \sin(z)$

[Евгений Машеров]

EUgeneUS в сообщении #1660118 писал(а):

Пусть "некая величина" - это и есть "скорость", например, скорость размножения мух. И это - экспонента.
Тогда "количество", например, количество мух это интеграл от экспоненты.

Неряха и лентяй Вася никак не соберётся выбросить мусор и помыть засиженные мухами окна. Благодаря неисчерпаемому пищевому резерву скорость размножения мух не ограничена ресурсами и их число растёт экспоненциально. Как меняется число мушиных следов на окнах, принимая, что за время наблюдения мухи только рождались, а не дохли, и оставляли следы с постоянной интенсивностью? И, разумеется, Вася за тряпку и не брался.

[Geen]

Да сколько же можно - мухи двухполые, они не по экспоненте размножаются!...

[Евгений Машеров]

wrest в сообщении #1660154 писал(а):

ависит от точки зрения
$\int e^x dx=e^x+C$
Но
$\frac{1}{2i}\int \limits_{-iz}^{iz}e^x dx= \sin(z)$

Ещё проще.
$e^{ix}=\cos x +i\sin x$
Что, кстати, интимно связано с вопросом топикстартера.
Поскольку $y'=ky$ это уравнение экспоненты, а $y''=ky$ - синусоиды (при отрицательном k). А если очень хочется - переписать, вместо производных интегралы...