2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение30.10.2024, 16:29 


31/08/17
34
Уважаемые участники! Производная экспоненты - это тоже экспонента. Это можно представить так: есть какая-то величина, скорость ее роста пропорциональна самой этой величине. Размножаются мухи. Чем больше мух, тем быстрее они размножаются, тем больше их становится, тем сильнее они размножаются и так далее лавинообразно.

А какой процесс можно придумать для интегрирования экспоненты? Интеграл экспоненты - это тоже экспонента. То есть площадь под экспонентой растет тоже как экспонента.

Может какая-нибудь нагрузка на плотину? Растет высота плотины - растет сечение бетона, из которого сделана плотина?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение30.10.2024, 16:38 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
wxthplvl65 в сообщении #1660106 писал(а):
Это можно представить так: есть какая-то величина, скорость ее роста пропорциональна самой этой величине
Называется дифур $y'=k y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение30.10.2024, 17:41 


21/12/16
721
Добавлю. Решение $x(t)$ задачи Коши $\dot x=x,\quad x(0)=1$ можно взять за определение экспоненты: $\exp t:=x(t)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение30.10.2024, 17:54 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
wxthplvl65 в сообщении #1660106 писал(а):
А какой процесс можно придумать для интегрирования экспоненты?


Всё тоже самое, только наоборот (с) :wink:

Пусть "некая величина" - это и есть "скорость", например, скорость размножения мух. И это - экспонента.
Тогда "количество", например, количество мух это интеграл от экспоненты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение30.10.2024, 18:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12414
То есть, если мухи дохнут — это экспонента, а если не дохнут, то тоже экспонента? Философичненько!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение30.10.2024, 18:46 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
Утундрий
Если мухи дохнут, то это логистическая кривая

Цитата:
После публикации статьи о скорости роста населения США [3], Пирл осуществил в своей лаборатории широкомасштабную программу исследований популяции плодовых мух дрозофилы (Drosophila melanogaster).

Опыты, проведенные с целью определить по какой траектории увеличивается численность популяции мух в ограниченном пространстве и при ограниченных пищевых ресурсах, показали, что в лабораторных условиях колония мух дрозофилы демонстрирует рост по траектории логистической кривой[5].

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение30.10.2024, 22:50 


31/08/17
34
EUgeneUS в сообщении #1660118 писал(а):
Пусть "некая величина" - это и есть "скорость", например, скорость размножения мух. И это - экспонента.
Тогда "количество", например, количество мух это интеграл от экспоненты.

Не, это можно отнести к любой функции. Надо именно для экспоненты, обладающей уникальными свойствами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение31.10.2024, 01:32 


05/09/16
12038
wxthplvl65
wxthplvl65 в сообщении #1660142 писал(а):
Надо именно для экспоненты, обладающей уникальными свойствами.

Синусы и косинусы обладают теми же, по сути, свойствами...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение31.10.2024, 03:09 


31/08/17
34
Ну синусы и косинусы другими свойствами обладают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение31.10.2024, 08:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Жадный и трусливыйБережливый и предусмотрительный рантье живёт на проценты с капитала, оставленного дедушкой-пиратом, не трогая тело вклада. Причём все не проедает, а из 6% годовых, выплачиваемых банком, половину кладёт на тот же счёт, так что тот прирастает по экспоненте на 3% в год, треть тратит на себя, а шестую часть вкладывает в золото. Как меняется сумма в сейфе, принимая, что цена золота неизменна (для правдоподобия предположения - дело происходит в XIX веке)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение31.10.2024, 08:55 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение31.10.2024, 09:45 


05/09/16
12038
wxthplvl65 в сообщении #1660146 писал(а):
Ну синусы и косинусы другими свойствами обладают.

Зависит от точки зрения
$\int e^x dx=e^x+C$
Но
$\frac{1}{2i}\int \limits_{-iz}^{iz}e^x dx= \sin(z)$
:mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение31.10.2024, 10:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
EUgeneUS в сообщении #1660118 писал(а):
Пусть "некая величина" - это и есть "скорость", например, скорость размножения мух. И это - экспонента.
Тогда "количество", например, количество мух это интеграл от экспоненты.


Неряха и лентяй Вася никак не соберётся выбросить мусор и помыть засиженные мухами окна. Благодаря неисчерпаемому пищевому резерву скорость размножения мух не ограничена ресурсами и их число растёт экспоненциально. Как меняется число мушиных следов на окнах, принимая, что за время наблюдения мухи только рождались, а не дохли, и оставляли следы с постоянной интенсивностью? И, разумеется, Вася за тряпку и не брался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение31.10.2024, 10:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
Да сколько же можно - мухи двухполые, они не по экспоненте размножаются!...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение31.10.2024, 10:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
wrest в сообщении #1660154 писал(а):
ависит от точки зрения
$\int e^x dx=e^x+C$
Но
$\frac{1}{2i}\int \limits_{-iz}^{iz}e^x dx= \sin(z)$
:mrgreen:


Ещё проще.
$e^{ix}=\cos x +i\sin x$
Что, кстати, интимно связано с вопросом топикстартера.
Поскольку $y'=ky$ это уравнение экспоненты, а $y''=ky$ - синусоиды (при отрицательном k). А если очень хочется - переписать, вместо производных интегралы...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group