пространство элементарных событий

[Ёж]

Правильно ли, что пространство элементарных событий (ПЭС) $\Omega -$ это множество элементарных исходов, т.е. $\omega$, а так же, это сумма элементарных событий, т.е. $\{\omega\}$? Вопрос возник в связи с тем, что в некоторых книгах по теории вероятностей по разному трактуются (вводятся) определяется понятия "элементарный исход", "элементарное событие", а следовательно, и "пространство элементарных событий"

[ihq.pl]

Мне кажется, "трактуется" здесь не подходит. Скорее, определяется.

[Ёж]

ihq.pl в сообщении #1660025 писал(а):

Мне кажется, "трактуется" здесь не подходит. Скорее, определяется.

исправил

[Anton_Peplov]

Ёж в сообщении #1660023 писал(а):

Вопрос возник в связи с тем, что в некоторых книгах по теории вероятностей по разному трактуются (вводятся) понятия "элементарный исход", "элементарное событие", а следовательно, и "пространство элементарных событий"

Возьмем некоторое множество $\Omega$ и назовем его множеством элементарных исходов. Выберем некоторую сигма-алгебру $\Gamma$ его подмножеств с единицей. Всякий элемент $\Gamma$ назовем событием. Т.е. $\omega \in \Omega$ - элементарный исход. Одноточечное множество $\{\omega\}$ - событие, если оно входит в $\Gamma$. Формально мы можем определить $\Gamma$ даже как $\Gamma = \{\Omega, \varnothing \}$, и тогда никакое $\{\omega\}$ не будет событием. Другое дело, что на практике обычно определяют сигма-алгебры так, чтобы всякое $\{\omega\}$ было событием. Да, его естественно назвать элементарным событием, хотя этот термин ни для чего не нужен.

Однако книги по теории вероятностей пишутся для разной аудитории. Прикладникам вообще ни к чему язык теории множеств и тем более сигма-алгебры. Им говорят: выпал орел - событие, выпала решка - событие, выпало три орла подряд - событие. На таком языке невозможно различить исход и событие, поэтому в этих учебниках иногда называют элементарный исход элементарным событием.

[ihq.pl]

Вот что пишут в Википедии:

Цитата:

В теории вероятностей элементарные события или события-атомы — это (элементарные) исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.

[Anton_Peplov]

ihq.pl в сообщении #1660032 писал(а):

Вот что пишут в Википедии

Вот уж откуда не стоит брать математические определения, так это из википедии. Ее редактируют все кому не лень, и у семидесяти семи нянек дитя может остаться не только без глазу, но и без головы.

[ihq.pl]

Да, не очень понятно что такое "ровно один". Почему, например, в качестве элементарных не взять множества некоторого разбиения $\Omega$.

[мат-ламер]

В качестве упражнения предлагаю найти пространство элементарных событий для задачи из этой темы: https://dxdy.ru/topic158926.html .

[Ёж]

Т.е., если в книгах написано, что через $\Omega$ обозначают множество элементарных событий, то имеют ввиду множество элементарных исходов?
Например, у А.Н. Колмогорова ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ написано, "Пусть $\Omega$ -- множество элементов $\omega$, которые мы будем называть элементарными событиями ..."

[Anton_Peplov]

Ёж в сообщении #1660042 писал(а):

Пусть $\Omega$ -- множество элементов $\omega$, которые мы будем называть элементарными событиями

Это вольность речи. Событиями являются не элементы $\Omega$, а подмножества $\Omega$, и то не всякие, а из выделенной сигма-алгебры.

В качестве альтернативы можно считать, что "элементарное событие" и "элементарный исход" - синонимы, но элементарное событие - не событие. Это будет непоследовательная терминология, но в математике таких примеров много. Например, секвенциальная компактность - не компактность (в произвольном топологическом пространстве она не является ни необходимой, ни достаточной для компактности).

Вообще, не советую уделять столько внимания этим терминологическим тонкостям. Они никак не влияют на содержательные теоремы теории вероятностей.

[ihq.pl]

Ёж в сообщении #1660042 писал(а):

Например, у А.Н. Колмогорова ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ написано, "Пусть $\Omega$ -- множество элементов $\omega$, которые мы будем называть элементарными событиями ..."

Это значит, что элементарное событие определено и является точкой в пространстве $\Omega$. Теоретико-множественный подход.

-- 29.10.2024, 20:51 --

мат-ламер в сообщении #1660039 писал(а):

В качестве упражнения предлагаю найти пространство элементарных событий для задачи из этой темы: topic158926.html

Ну, здесь, скорее всего, теорема Колмогорова о продолжении мер в $(\mathbb{R}^\infty, \mathcal{B}(\mathbb{R}^\infty))$.