One old book No.1

[rsoldo]

Let $N$ be the number of integer solutions of the inequality $x^2+y^2\leq n.$ Prove:

$$|N-\pi n|<2\pi\cdot (\sqrt{2n}+1).$$

[waxtep]

Это еще Гаусс делал, задача о количестве целочисленных точек в круге

[mihiv]

Число целочисленных точек в круге $x^2+y^2\leqslant R^2,(R=\sqrt n )$ равно:

$$N=2\lfloor R\rfloor +1+2\sum \limits _{k=-\lfloor R\rfloor }^{\lfloor R\rfloor}\lfloor \sqrt {R^2-k^2}\rfloor >-(2\lfloor R\rfloor +1)+2\sum \limits _{k=-\lfloor R\rfloor }^{\lfloor R\rfloor} \sqrt {R^2-k^2}>\pi R^2-4R-1$$

Использовано неравенство: $\lfloor a\rfloor \geqslant a-1$. С другой стороны:

$$N<2\lfloor R\rfloor +1+2\sum \limits _{k=-\lfloor R\rfloor }^{\lfloor R\rfloor}\sqrt {R^2-k^2}<\pi R^2+4R+1$$

Использовано неравенство $(\lfloor a\rfloor \leqslant a)$, кроме того при получении обоих неравенств учитываем, что $\sum \limits _{k=-\lfloor R\rfloor }^{\lfloor R\rfloor}\sqrt {R^2-k^2}$- является приближением интеграла $\int \limits _{-R}^{R}\sqrt {R^2-x^2}dx$ прямоугольниками.
Получилось, если нигде не ошибся неравенство: $|N-\pi R^2|<4R+1$.