Система дифуров

[Osmiy]

Мне нужен способ решения подобных систем дифуров:
$\begin{cases} m f_0 +\partial_t f_0+\partial_x f_1=0\\ m f_1 -\partial_t f_1-\partial_x f_0=0 \end{cases}$
Только в интересующих меня системах 4 измерения и минимум 8 функций и уравнений. То что удаётся найти либо решение просто уравнения в частных производных, либо системы ОДУ. Система описывает физическое поле с унитарным оператором эволюции. И мне нужны только вещественные решения, хотя решения могут быть и комплексными. Если я правильно понимаю в решении должны быть только синусы и косинусы, никаких экспонент и прочего быть не должно.
Я могу подставить такую функцию
$f=\begin{pmatrix} c_0 \cos(\phi) + c_1 \sin(\phi) \\ c_2 \cos(\phi) + c_3 \sin(\phi) \\ ...\\ c_{n-2} \cos(\phi) + c_{n-1} \sin(\phi) \end{pmatrix}$
и получить задачу на собственные значения и вектора, доопределив систему уравнениями на основе квадрата оператора, например. Правильно ли так делать? Нет ли другого попроще способа. Например, подставить комплексные экспоненты, а потом выделить вещественную и мнимую часть из векторов.

-- 26.10.2024, 15:27 --

Собственно $\phi= p_x x+ p_y y + p_z z -Et$

[пианист]

Osmiy в сообщении #1659620 писал(а):

Мне нужен способ решения подобных систем дифуров:

$$\begin{cases} m f_0 +\partial_t f_0+\partial_x f_1=0\\ m f_1 -\partial_t f_1-\partial_x f_0=0 \end{cases}$$

Что есть способ решения, смотря по тому. Каждая из искомых функций будет удовлетворять уравнению Клейна-Гордона-Фока, если это чем-то поможет.

[Osmiy]

Я взял и подставил комплексные экспоненты в уменьшенную систему. Получилась задача на собственные значения и вектора. Решил в Вольфраме, выделил вещественную часть и подставил обратно в систему дифуров. Всё сошлось. Получается таким способом можно решать такие системы (если нигде не ошибся).

[пианист]

Osmiy в сообщении #1659690 писал(а):

таким способом можно решать такие системы

"Такие" не знаю, а уравнение КГФ, к которому сводится выписанная Вами система (кстати, у Вас, кажется, координата и время местами перепутаны, если это они, конечно), автономно и по $t$, и по $x$. Поэтому есть решения в форме бегущих волн. В зависимости от скорости это или вещественная, или мнимая экспонента (т.е. синусы и косинусы).
Есть, конечно, и другие решения.