Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении

[maximkarimov]

Известен ли метод аналитического продолжения вещественной функции двух переменных, который может быть использован при выполнении практических расчетов?

[dgwuqtj]

А функция у вас как задана? Даже если известны значения вещественно аналитической функции и её частных производных порядка $\leq N$ на каком-то дискретном множестве, а также известны оценки сверху на модули этих частных производных, следующие частные производные могут быть сколь угодно большими. То есть нельзя посчитать разложение Тейлора ни в одной точке. Это и к функциям одной переменной относится.

[vicvolf]

Есть такая книга Л. Хермандер "Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных" или Б.Л. Фукс "Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных".

[maximkarimov]

dgwuqtj в сообщении #1659582 писал(а):

А функция у вас как задана?

Общий случай: плоское скалярное поле вещественной переменной $x$, произвольно определенное (заданное) в узлах ортонормированной 2D решетки. Частный случай, в котором возможно и необходимо практически вычислить аналитическое продолжение: переменная $x$ такого поля периодична в направлении каждого из базисных векторов (поле имеет конечный спектр).

-- 26.10.2024, 12:03 --

vicvolf в сообщении #1659584 писал(а):

Есть такая книга Л. Хермандер "Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных" или Б.Л. Фукс "Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных".

Речь идет о практическом вычислении функции одной комплексной переменной.

[Утундрий]

maximkarimov в сообщении #1659603 писал(а):

аналитическое продолжение

Как вы это понимаете? Перескажите другими словами.

[maximkarimov]

Утундрий в сообщении #1659606 писал(а):

maximkarimov в сообщении #1659603 писал(а):

аналитическое продолжение

Как вы это понимаете? Перескажите другими словами.

Ок. В случае вещественной функции одной переменной свойствами аналитического продолжения обладает преобразование Гильберта. Поскольку на входе дискретные значения, постольку сначала получаем из них вещественную аналитическую функцию (например, прямым/обратным преобразованием Фурье), а уже затем восстанавливаем ее мнимую часть (преобразованием Гильберта).

Однако расширение преобразования Гильберта на вещественную функцию уже двух переменных утрачивает свойства аналитического продолжения - его результат не единственен.

Как-то так.

[Vince Diesel]

Преобразование Гильберта сопоставляет действительной части функции (на прямой или окружности) ее мнимую часть на той же самой прямой/окружности. Имеется в виду это? Под продолжением обычно подразумевают распространение на более широкое множество.

[maximkarimov]

Имеется в виду метод аналитического продолжения вещественной функции двух переменных $u(x,y)$ на комплексной плоскости $C$. Другими словами, в результате необходимо получить голоморфную функцию $f(z)$, которая содержит $u(x,y)$.

[dgwuqtj]

maximkarimov
А чем вас не устраивает обычная интерполяция тригонометрическим многочленом?

[maximkarimov]

Переход в комплексную область позволяет упростить решение дифференциальных уравнений.

[Vince Diesel]

В случае одной комплексной переменной продолжение в комплексную область дается не преобразованием Гильберта, а интегралом Шварца.

maximkarimov в сообщении #1659603 писал(а):

Частный случай, в котором возможно и необходимо практически вычислить аналитическое продолжение: переменная $x$ такого поля периодична в направлении каждого из базисных векторов (поле имеет конечный спектр).

Как вариант, взять двумерное дискретное преобразование Фурье, записать значения функции с его помощью, а затем заменить в сумме экспоненты вроде $e^{2\pi i j k/N}$ (это пример для единичного отрезка) на $e^{2\pi i (x+iy) k}$.

[pppppppo_98]

maximkarimov в сообщении #1659688 писал(а):

Имеется в виду метод аналитического продолжения вещественной функции двух переменных $u(x,y)$ на комплексной плоскости $C$. Другими словами, в результате необходимо получить голоморфную функцию $f(z)$, которая содержит $u(x,y)$.

что такое одна функция содержит друuую... вы как-то переформулировать можете в строгих математических теринах... А функция u(x,y) - у вас гармоническая?

[maximkarimov]

Да, спешил. Постараюсь завтра дать строгую формулировку. Спасибо.

[Утундрий]

maximkarimov в сообщении #1659833 писал(а):

Постараюсь завтра дать строгую формулировку.

Не забудьте заодно внятно описать на каком множестве задана функция.

[maximkarimov]

Да, конечно. Спасибо.