Почему вспомогательная функция в доказательстве именно такая

[evdokimovm]

Здравствуйте, впервые у вас. Пытаюсь изучать математику самостоятельно, в свободное от работы время, используя открытые ресурсы (в основном на английском языке, поскольку материала просто больше). Это пояснение было нужно.

Я правда хочу понять из каких соображений были выведены эти функции. Я имею ввиду, какие рассуждения могли к ним привести. Потому что во всех доказательствах, где бы я их не находил, везде эти функции почему-то даются как что-то самоочевидное и не требующее объяснений.

При этом сами по себе доказательства не сказать что очень сложны, время конечно потребовалось, но главная проблема из за которой я не удовлетворен этими доказательствами это полное отсутствие каких либо "оправданий" этим функциям.

Вот пара примеров:

На сайте OpenStax есть книга Calculus Volume 2. Доказательство теоремы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа можно найти здесь: Chapter 6.3, Theorem 6.7. Вспомогательная функция использующаяся в доказательстве имеет следующий вид:

$$ \ g(t) = f(x) - f(t) - f'(t)(x - t) - \frac{f''(t)}{2!}(x - t)^2 - \cdots - \frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x - t)^n - R_n(x)\frac{(x - t)^{n+1}}{(x - a)^{n+1}}. \ $$

Я вроде как понимаю, что $\frac{(x - t)^{n+1}}{(x - a)^{n+1}}$ масштабирует остаточный член $R_n(x)$ когда мы изменяем $t$ и это помогает нам в дальнейшем использовать теорему Ролля:



Но. Мы фиксируем $x$ здесь, верно? Но почему мы не фиксируем $t$? Я имею ввиду, мы ведь обычно строим ряд Тейлора вокруг одной конкретной точки $a$ (в данном случае $t$). Почему здесь мы фиксируем $x$ и все время изменяем $t$ которая по идее должна быть "центром"?

Я так же попытался это изобразить:



и я не понимаю, почему остаток должен исчезнуть при $t = x$, ведь расхождение там наоборот должно быть значительным.

Из каких соображений автор решил что вспомогательная функция $g(t)$ должна быть вот именно такой? Без каких либо объяснений это выглядит примерно следующим образом: "математик сидел, думал, разводил руками и внезапно понял что хочет чтобы функция была именно такой и вуаля, это сработало". Я прошу прощения.

Во втором примере то же самое:

В книге Principles of Mathematical Analysis (автор Walter Rudin) дается следующая функция (обвел красным):



В общем, как я уже сказал выше, я никак не могу понять "из какой шляпы" авторы из этих двух примеров достали эти вспомогательные функции. И без этого, все эти доказательства выглядят "искусственно".

Чтобы вы понимали мое отчаяние, лучшее объяснение которое я мог найти (на обоих языках) за долгое время поисков было приблизительно таким: "ну мы просто очень внимательно выбрали эту функцию, кто нам мешает это сделать? никто".

P.S.: надеюсь этот вопрос не нарушает правил dxdy.ru, так как он задан на половину на английском языке.

[iifat]

Не думаю, что в этом процессе есть некое сакральное значение. Имхо, математики просто «ищут под фонарём». Функция в доказательстве именно такая, потому что, перепробовав пару десятков (или не пару; или не десятков), автор таки смог доказать красивую теорему. И ничего такого «особо искусственного» в этом способе нет, способ как способ.
Вон, Эрлих разработал сальварсан, препарат от сифилиса, он же «препарат 606» — то бишь, перепробовав безуспешно 605 препаратов, добился таки успеха в 606-й раз. И выглядит сие вполне естественно.

[evdokimovm]

iifat в сообщении #1659614 писал(а):

Имхо, математики просто «ищут под фонарём».
И ничего такого «особо искусственного» в этом способе нет, способ как способ.

То есть, мне остается только, как бы это "смириться" с тем что оно вот такое?

Просто понимаете, я привык к тому что в математике все вещи не берутся из ниоткуда (ну по крайней мере так все всегда говорят). Вон, если отвлечься от математического анализа и взять, ну например, доказательство теоремы Пифагора (пусть это будет графический метод, через рисование квадрата):



Так вот, при доказательстве таких теорем, там всегда понятно откуда что взялось. Все как-то плавно происходит. А тут какой-то разрыв шаблона у меня или что, не знаю даже. Не может же быть так чтобы вообще доказательство без пояснений было. Оно мне кажется каким-то не полным, что-ли.

Ну или взять даже, снова из математического анализа, теорему Лагранжа (или LMVT в английском языке, т.е. the Lagrange mean value theorem), так вот в ее доказательстве тоже используется вспомогательная функция, вот такая:

$$ F(x) = f(x) - \left[ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} (x - a) + f(a) \right] $$

Но она ведь тоже не была взята из ниоткуда. А дело в том что для построения этой функции мы вычитаем из некоторой функции $f(x)$, функцию секущей проходящей через две точки на $f(x)$ ну и так как они в 2х точках совпадают то их разность равна нулю в этих двух точках. Собственно и всё, можно использовать теорему Ролля. И никакой "магии". Правда к этому я тоже не сам пришел, а посмотрел видео урок (анг.).

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.

evdokimovm в сообщении #1659588 писал(а):

надеюсь этот вопрос не нарушает правил dxdy.ru, так как он задан наполовину на английском языке.

Английский, как и русский - официальный язык форума. Так что можно задавать вопросы даже полностью на английском языке.

[drzewo]

evdokimovm когда вас по каким то причинам не устраивает доказательство из учкбника, отложите учебник и попробуйте придумать свое

[evdokimovm]

drzewo в сообщении #1659625 писал(а):

evdokimovm когда вас по каким то причинам не устраивает доказательство из учкбника, отложите учебник и попробуйте придумать свое

Очевидно что я сам не смог бы придумать вообще ничего из того что прочитал в этих двух учебниках.

Попробую чуть по другому. Вот я например никогда не был студентом математического или около-математического факультета в университетах. И мне интересно, ну вот если предположить что студенту поставили задачу на зачете/на экзамене, написать доказательство теоремы Тейлора с остатком в форме Лагранжа, как в моем вопросе. Он взял и написал его, взяв вот эту функцию, а преподаватель взял и спросил откуда она взялась, а студент и правда понятия не имеет.

Потенциально такое может быть? Или такого не бывает?

[drzewo]

evdokimovm в сообщении #1659627 писал(а):

Он взял и написал его, взяв вот это функцию, а преподаватель взял и спросил откуда она взялась, а студент и правда понятия не имеет.

Потенциально такое может быть? Или такого не бывает?

Преподаватели разные бывают:) Просто вопрос <<откуда взялась?>> -- это не вопрос по математике. Доказательство может быть верным или ошибочным -- это математика.

-- 26.10.2024, 14:58 --

Однако если говорить серьезно в математике много неформальных вещей, которые не попадают в учебники, а передаются в устном форме, в частности, от учителя к ученику. Генезис тех или иных понятий и методов чаще всего относится к этому неформальному пласту.

[evdokimovm]

drzewo в сообщении #1659629 писал(а):

Однако если говорить серьезно в математике много неформальных вещей, которые не попадают в учебники, а передаются в устном форме, в частности, от учителя к ученику. Генезис тех или иных понятий и методов чаще всего относится к этому неформальному пласту.

Я уже извиняюсь за дотошность но, что получается то? Единственный вариант для меня "докопаться до истины" это найти каким-то образом преподавателя из университета, с математического факультета, который в устной форме, в дискуссии, даст идею откуда взялся сабж?

Или я вас не так понял.

[Anton_Peplov]

evdokimovm
Я тоже в свое время изучал математику самостоятельно (и сейчас не совсем забросил, просто сейчас времени совсем мало). Начал еще лет 15 назад, когда был моложе и наивнее. И мне тогда тоже казалось, что признак настоящего понимания - это ощущение "ага, ну как же может быть иначе". Я кучу времени потерял, вертя доказательства из книг так и эдак, пытаясь понять, почему какая-нибудь функция именно такая, и прочее в том же духе. Но потом понял, что впереди даже не сотни - тысячи доказательств, и если над каждым так корпеть, то ничего не успеешь. В математике бывают контринтуитивные вещи, бывают трюки ad hoc в доказательствах, много чего бывает. Что-то надо просто принять и идти дальше. Мера понимания математики - это не какие-нибудь там ощущения, а умение решать задачи. Как на вычисление, так и на доказательство (да в анализе то и другое не всегда отделимо друг от друга).

Возможно, в будущем Вам встретится другое доказательство, например - для более общего случая, опирающееся на определения и идеи, которые Вам пока не знакомы. Упреждая вопрос - для теоремы Тейлора я такового не знаю.

[TOTAL]

evdokimovm в сообщении #1659636 писал(а):

Я уже извиняюсь за дотошность но, что получается то? Единственный вариант для меня "докопаться до истины" это ...

Откуда у Вас возникло желание "докопаться до истины"? Почему именно желание? Почему докопаться?

[Утундрий]

...почему до истины?

[evdokimovm]

TOTAL в сообщении #1659650 писал(а):

evdokimovm в сообщении #1659636 писал(а):

Я уже извиняюсь за дотошность но, что получается то? Единственный вариант для меня "докопаться до истины" это ...

Откуда у Вас возникло желание "докопаться до истины"? Почему именно желание? Почему докопаться?

Это состояние похоже на XKCD#356. В нем говорится примерно следующее: "Есть такой склад ума который видит какую-то проблему и не двигается дальше пока с ней не разберется." Видимо вот оно.

Если серьезно, я привык изучать какую-либо тему до момента ... как сказал выше Anton_Peplov:

Anton_Peplov в сообщении #1659649 писал(а):

evdokimovm
И мне тогда тоже казалось, что признак настоящего понимания - это ощущение "ага, ну как же может быть иначе".

То есть до момента когда "щелчок" происходит. Райгородский в своих лекциях, кажется, называет этот момент "катарсисом".

А с этой теоремой (конкретно, с этой функцией, точнее, с ее происхождением) прямо не наступает этот момент понимания и всё тут. Просто функция из ниоткуда. Трюк. Ad hoc. Объяснения просто ну нигде нет и всё тут. Хоть ты тресни.

Утундрий в сообщении #1659653 писал(а):

...почему до истины?

Может быть я не правильно выразился, раз на этой фразе так заострили внимание. Ну, я имел ввиду докопаться до того откуда взялась функция. Вот. Собственно в посте об этом и сказано.

P.S.: Вообще, сложно изучать математику (в особенности анализ) самостоятельно когда тебя все время не окружает сообщество из умных людей, ну например в университете, где всегда есть у кого спросить.

[TOTAL]

evdokimovm в сообщении #1659657 писал(а):

Ну, я имел ввиду докопаться до того откуда взялась функция.

Из головы взялась. Из чьей-то.
(А как она в голову попала?)

[Утундрий]

TOTAL в сообщении #1659658 писал(а):

как она в голову попала?

Из мира эйдосов сбежала.

[Dedekind]

evdokimovm в сообщении #1659636 писал(а):

Единственный вариант для меня "докопаться до истины" это найти каким-то образом преподавателя из университета, с математического факультета, который в устной форме, в дискуссии, даст идею откуда взялся сабж?

Может и не единственный, но правда в том, что самостоятельно математику (особенно доказательную) изучить очень сложно. Нужно постоянное общение с профессионалами. Собственно, университеты не зря придумали.
Но и не скажу, что невозможно. Альтернатива - решать самостоятельно огромное количество задач на доказательство разных утверждений, так что со временем будете сами интуитивно "видеть" какую тут вспомогательную функцию лучше выбрать. Но это займет гораздо больше времени, и даже тут на начальном этапе обязательно нужен фидбек от профессионалов.

Что касается вопроса

evdokimovm в сообщении #1659588 писал(а):

и я не понимаю, почему остаток должен исчезнуть при $t = x$, ведь расхождение там наоборот должно быть значительным.

то он не корректный. Остаток не зависит от $t$ он зависит только от $x$. И, соответственно, в 0 не обращается. А от $t$ зависит функция $g(t)$, которая понятно почему обращается в 0 при $t=x$. Другой мотивации выбрать именно такую функцию, кроме как "попробуем что-то чтобы подогнать под теорему Ролля (потому что нам нужно какое-то уравнение на $R_n$)" - я тоже не вижу. Да и то, даже это, скорее всего, объяснение post hoc.