Нюанс при выводе функции Бесселя

[PhysicsEnjoyer]

При выводе функции Бесселя, когда функция ищется как ряд, который является решением уравнения Бесселя, получаются такая система уравнений:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} (\sigma^2 - \nu^2 )a_0=0& \\ ((\sigma+1)^2 - \nu^2 )a_1=0 \\ ((\sigma+2)^2 - \nu^2 )a_2 + a_0=0 \\ . . . . . . . . . . . ........................................ . \\ ((\sigma+m)^2 - \nu^2 )a_m + a_{m-2}=0 \\ \end{array} \right.$$

Из первого $\sigma = \pm \nu$
Далее, если $\nu$ не целое отрицательное и положительно, то можно найти все коэфициенты $a_m$, т.к. $ ((\sigma+m)^2 - \nu^2 ) \ne 0 $, причем $a_{2k+1} = 0$, где $k = 0,1,...$
Найдем случаи, для которых $((\sigma+m)^2 - \nu^2 ) = 0$
Учтем что в любом случае $\sigma^2 = \nu^2$
$ \nu^2 + 2m \sigma + m^2 - \nu^2 = 0$
$ 2m \sigma + m^2 = 0$
$ m = -2 \sigma $
$ m>0$ отсюда возможно только $\sigma < 0$
Я видел когда рассматривают случай, когда $m$ нечетное и тогда $ \sigma = r + \frac{1}{2} = -\nu$
Но что делать когда $m $четное ? В этом случае, по идее только коэффициент $a_m$ неопределен, и что тогда делать с этим m-ым членом ряда не совсем понятно. Этот случай рассматривают с моей кухонной точки зрения как-то "коряво", беря предел от функции Бесселя, стремля $\nu \to n$.

[Утундрий]

PhysicsEnjoyer в сообщении #1659285 писал(а):

стремля

Остальное примерно на том же уровне.