Вычисление интеграла

[Maxxxu]

Добрый день! Помогите пожалуйста разобраться с вычислением интеграла

$$\int\limits_a^x \frac{t}{(x-t)^{\alpha}}dt$$

Я делаю замену переменной:

$$x-t = w$$

. Отсюда

$$t = x-w, dt = -dw$$

Тогда

$$\int\limits_a^x \frac{t}{(x-t)^{\alpha}}dt = - \int\limits_a^x \frac{x-w}{w^{\alpha}}dw = -x\int\limits_a^x\frac{dw}{w^{\alpha}} + \int\limits_a^x\frac{dw}{w^{\alpha-1}} = -x\frac{1}{1-\alpha}\left( \frac{1}{w^{\alpha-1}} \right)|\limits_a^x + \frac{1}{2-\alpha}\left( \frac{1}{w^{\alpha-2}} \right)|\limits_a^x...$$

Вопрос в следующем: если теперь "вернуть" замену (т.е. вместо w написать x-t), то в знаменателях при подстановке значений

$$a$$

и

$$x$$

будут нули (в одном случае)... В чем моя ошибка?
Может быть пределы интегрирования при замене переменной тоже надо изменять (т.е. вместо

$$x$$

писать

$$w + t$$

)... но тогда ведь получится, что, заменяя переменную $t$, опять к ней возвращаемся?

Заранее спасибо за помощь.

[--mS--]

Конечно, пределы интегрирования нужно заменять при замене: это границы изменения переменной интегрирования. Если переменная интегрирования t менялась от $t=a$ до $t=x$, то новая переменная $w=x-t$ будет меняться от (нижний предел) $w=x-a$ до (верхний предел) $w=x-x=0$.

Вместо $x$ никак не получится писать $w+t$: мы не $x$ на $w$ меняем, а $t$.

Но можно и вычислить первообразную заменами, а потом вернуться к исходной переменной, как Вы и делали, и подставлять туда первоначальные границы. Но нуля в знаменателе при $\alpha > 1$ никак не избежать - интеграл в верхнем пределе расходится. Да и при $\alpha = 1$ первообразные тоже не такие. Может быть, на $\alpha$ есть ограничения?

[Maxxxu]

Извиняюсь за упущение существенной детали -

$$\alpha \in (0,1)$$

Вообще этот интеграл - это кусок выражения для производной дробного порядка...
Общая запись

$$D_{\alpha} = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dx}\int\limits_{a}^x\frac{f(t)}{(x-t)^{\alpha}}dt$$

Соответственно, я вычисляю производную при

$$f(t) = t$$

[--mS--]

Тогда хоть так, хоть эдак - никаких нулей в знаменателе и близко нет. Степень $\alpha-1$ в знаменателе отрицательна.

[Maxxxu]

--mS--, большое спасибо за помощь!