2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вычисление интеграла
Сообщение08.12.2008, 22:51 
Добрый день! Помогите пожалуйста разобраться с вычислением интеграла $$\int\limits_a^x \frac{t}{(x-t)^{\alpha}}dt$$

Я делаю замену переменной: $$x-t = w$$. Отсюда $$t = x-w, dt = -dw$$

Тогда $$\int\limits_a^x \frac{t}{(x-t)^{\alpha}}dt = - \int\limits_a^x \frac{x-w}{w^{\alpha}}dw = -x\int\limits_a^x\frac{dw}{w^{\alpha}} + \int\limits_a^x\frac{dw}{w^{\alpha-1}} = -x\frac{1}{1-\alpha}\left( \frac{1}{w^{\alpha-1}} \right)|\limits_a^x + \frac{1}{2-\alpha}\left( \frac{1}{w^{\alpha-2}} \right)|\limits_a^x...$$

Вопрос в следующем: если теперь "вернуть" замену (т.е. вместо w написать x-t), то в знаменателях при подстановке значений $$a$$ и $$x$$ будут нули (в одном случае)... В чем моя ошибка?
Может быть пределы интегрирования при замене переменной тоже надо изменять (т.е. вместо $$x$$ писать $$w + t$$)... но тогда ведь получится, что, заменяя переменную $t$, опять к ней возвращаемся?

Заранее спасибо за помощь.

 
 
 
 
Сообщение08.12.2008, 23:09 
Аватара пользователя
Конечно, пределы интегрирования нужно заменять при замене: это границы изменения переменной интегрирования. Если переменная интегрирования t менялась от $t=a$ до $t=x$, то новая переменная $w=x-t$ будет меняться от (нижний предел) $w=x-a$ до (верхний предел) $w=x-x=0$.

Вместо $x$ никак не получится писать $w+t$: мы не $x$ на $w$ меняем, а $t$.

Но можно и вычислить первообразную заменами, а потом вернуться к исходной переменной, как Вы и делали, и подставлять туда первоначальные границы. Но нуля в знаменателе при $\alpha > 1$ никак не избежать - интеграл в верхнем пределе расходится. Да и при $\alpha = 1$ первообразные тоже не такие. Может быть, на $\alpha$ есть ограничения?

 
 
 
 
Сообщение08.12.2008, 23:34 
Извиняюсь за упущение существенной детали - $$\alpha \in (0,1)$$ :oops:
Вообще этот интеграл - это кусок выражения для производной дробного порядка...
Общая запись

$$D_{\alpha} = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dx}\int\limits_{a}^x\frac{f(t)}{(x-t)^{\alpha}}dt$$

Соответственно, я вычисляю производную при $$f(t) = t$$

 
 
 
 
Сообщение09.12.2008, 00:19 
Аватара пользователя
Тогда хоть так, хоть эдак - никаких нулей в знаменателе и близко нет. Степень $\alpha-1$ в знаменателе отрицательна.

 
 
 
 
Сообщение09.12.2008, 00:22 
--mS--, большое спасибо за помощь!

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group