Чтобы показать, что поверхности ( S ) и ( Q ) являются гладкими регулярными поверхностями, начнем с их определения и анализа.
Поверхность ( S ) задана уравнением:
Это уравнение описывает сферу в комплексном пространстве
. Мы можем рассматривать ( S ) как подмножество
.
Определим функцию:
Градиент этой функции:
В точках, где
и
не равен нулю, что означает, что поверхность ( S ) является гладкой и регулярной.
Размерность поверхности ( S ) равна ( 4 - 1 = 3 ) (так как мы имеем одно уравнение в
).
Теперь рассмотрим множество ( Q ), заданное уравнением:
Это уравнение описывает подмножество поверхности ( S ). Мы можем выразить ( w ) через ( z ):
Таким образом, ( z ) и ( w ) могут быть записаны как:
При этом
, что дает
.
Теперь мы можем выразить ( z ) и ( w ) через два параметра
и
:
Таким образом, ( Q ) можно параметризовать двумя углами
и
, что указывает на то, что размерность ( Q ) равна ( 2 ).
Теперь определим, к каким известным поверхностям гомеоморфны ( S ) и ( Q ).
Поверхность ( S ): Это сфера
в
, так как она задается уравнением, аналогичным уравнению для сферы в трехмерном пространстве, но в комплексном пространстве.
Поверхность ( Q ): Это множество, где
на сфере, что соответствует окружности
в плоскости
. Поскольку ( Q ) задается двумя углами, это соответствует двумерной поверхности, которая гомеоморфна
(тору).
Таким образом, мы имеем:
Поверхность ( S ) является гладкой регулярной поверхностью размерности 3 и гомеоморфна
.
Поверхность ( Q ) является гладкой регулярной поверхностью размерности 2 и гомеоморфна
(тору).
-- 17.10.2024, 17:30 --Это правильное решение?