Задача из дифференциальной геометрии про поверхности в C^2

[DariaRychenkova]

Рассмотрим комплексное двумерное пространство $\mathbb{C}^2(z, w)$ и поверхность $S=\left\{(z, w) \in \mathbb{C}^2 \mid\right.$ $\left.|z|^2+|w|^2=1\right\}$ в нем. На поверхности $S$ рассмотрим множество $Q$, задаваемое уравнением $|z|=|w|$. Докажите, что $S$ и $Q$ - гладкие регулярные поверхности размерностей 3 и 2 соответственно. Определите, каким известным поверхностям гомеоморфны $S$ и $Q$.


Возникли вопросы

1) В этой задаче достаточно проверить на равенство нулю частные производные?

2) Не понимаю зачем дано уравнение для Q, если регулярность подмножества должна следовать из регулярности множества

[DariaRychenkova]

Чтобы показать, что поверхности ( S ) и ( Q ) являются гладкими регулярными поверхностями, начнем с их определения и анализа.

Поверхность ( S ) задана уравнением:

$$[ |z|^2 + |w|^2 = 1. ]$$

Это уравнение описывает сферу в комплексном пространстве

$$( \mathbb{C}^2 )$$

. Мы можем рассматривать ( S ) как подмножество

$$( \mathbb{R}^4 )$$ поскольку $$( \mathbb{C}^2 )$$ изоморфно $$( \mathbb{R}^4 )$$

.

Определим функцию:

$$[ F(z, w) = |z|^2 + |w|^2 - 1. ]$$

Градиент этой функции:

$$[ \nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial z}, \frac{\partial F}{\partial w} \right) = \left( 2z, 2w \right). ]$$

В точках, где

$$( (z, w) \in S )$$

и

$$( (z, w) \neq (0, 0) ), градиент ( \nabla F )$$

не равен нулю, что означает, что поверхность ( S ) является гладкой и регулярной.

Размерность поверхности ( S ) равна ( 4 - 1 = 3 ) (так как мы имеем одно уравнение в

$$( \mathbb{R}^4 )$$

).

Теперь рассмотрим множество ( Q ), заданное уравнением:

$$[ |z| = |w|. ]$$

Это уравнение описывает подмножество поверхности ( S ). Мы можем выразить ( w ) через ( z ):

$$[ w = e^{i\theta} |z| \quad \text{для некоторого } \theta \in [0, 2\pi). ]$$

Таким образом, ( z ) и ( w ) могут быть записаны как:

$$[ z = re^{i\phi}, \quad w = re^{i\theta}, \quad r = |z| = |w|. ]$$

При этом

$$( r^2 = |z|^2 + |w|^2 = 1 )$$

, что дает

$$( r = \frac{1}{\sqrt{2}} )$$

.

Теперь мы можем выразить ( z ) и ( w ) через два параметра

$$( \phi )$$

и

$$( \theta )$$

:

$$[ z = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\phi}, \quad w = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\theta}. ]$$

Таким образом, ( Q ) можно параметризовать двумя углами

$$( \phi )$$

и

$$( \theta )$$

, что указывает на то, что размерность ( Q ) равна ( 2 ).

Теперь определим, к каким известным поверхностям гомеоморфны ( S ) и ( Q ).

Поверхность ( S ): Это сфера

$$( S^3 )$$

в

$$( \mathbb{R}^4 )$$

, так как она задается уравнением, аналогичным уравнению для сферы в трехмерном пространстве, но в комплексном пространстве.

Поверхность ( Q ): Это множество, где

$$( |z| = |w| )$$

на сфере, что соответствует окружности

$$( S^1 )$$

в плоскости

$$( \mathbb{C} )$$

$$(или ( \mathbb{R}^2 ))$$

. Поскольку ( Q ) задается двумя углами, это соответствует двумерной поверхности, которая гомеоморфна

$$( S^1 \times S^1 )$$

(тору).

Таким образом, мы имеем:

Поверхность ( S ) является гладкой регулярной поверхностью размерности 3 и гомеоморфна

$$( S^3 )$$

.
Поверхность ( Q ) является гладкой регулярной поверхностью размерности 2 и гомеоморфна

$$( S^1 \times S^1 )$$

(тору).

-- 17.10.2024, 17:30 --

Это правильное решение?

[Утундрий]

Поверхность сфера, потому что это же сфера...

[Deathrose]

DariaRychenkova в сообщении #1658847 писал(а):

Чтобы показать, что поверхности ( S ) и ( Q ) являются гладкими регулярными поверхностями, начнем с их определения и анализа.

Поверхность ( S ) задана уравнением:

$$[ |z|^2 + |w|^2 = 1. ]$$

Это уравнение описывает сферу в комплексном пространстве

$$( \mathbb{C}^2 )$$

. Мы можем рассматривать ( S ) как подмножество

$$( \mathbb{R}^4 )$$ поскольку $$( \mathbb{C}^2 )$$ изоморфно $$( \mathbb{R}^4 )$$

.

Определим функцию:

$$[ F(z, w) = |z|^2 + |w|^2 - 1. ]$$

Градиент этой функции:

$$[ \nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial z}, \frac{\partial F}{\partial w} \right) = \left( 2z, 2w \right). ]$$

В точках, где

$$( (z, w) \in S )$$

и

$$( (z, w) \neq (0, 0) ), градиент ( \nabla F )$$

не равен нулю, что означает, что поверхность ( S ) является гладкой и регулярной.

Размерность поверхности ( S ) равна ( 4 - 1 = 3 ) (так как мы имеем одно уравнение в

$$( \mathbb{R}^4 )$$

).

Теперь рассмотрим множество ( Q ), заданное уравнением:

$$[ |z| = |w|. ]$$

Это уравнение описывает подмножество поверхности ( S ). Мы можем выразить ( w ) через ( z ):

$$[ w = e^{i\theta} |z| \quad \text{для некоторого } \theta \in [0, 2\pi). ]$$

Таким образом, ( z ) и ( w ) могут быть записаны как:

$$[ z = re^{i\phi}, \quad w = re^{i\theta}, \quad r = |z| = |w|. ]$$

При этом

$$( r^2 = |z|^2 + |w|^2 = 1 )$$

, что дает

$$( r = \frac{1}{\sqrt{2}} )$$

.

Теперь мы можем выразить ( z ) и ( w ) через два параметра

$$( \phi )$$

и

$$( \theta )$$

:

$$[ z = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\phi}, \quad w = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\theta}. ]$$

Таким образом, ( Q ) можно параметризовать двумя углами

$$( \phi )$$

и

$$( \theta )$$

, что указывает на то, что размерность ( Q ) равна ( 2 ).

Теперь определим, к каким известным поверхностям гомеоморфны ( S ) и ( Q ).

Поверхность ( S ): Это сфера

$$( S^3 )$$

в

$$( \mathbb{R}^4 )$$

, так как она задается уравнением, аналогичным уравнению для сферы в трехмерном пространстве, но в комплексном пространстве.

Поверхность ( Q ): Это множество, где

$$( |z| = |w| )$$

на сфере, что соответствует окружности

$$( S^1 )$$

в плоскости

$$( \mathbb{C} )$$

$$(или ( \mathbb{R}^2 ))$$

. Поскольку ( Q ) задается двумя углами, это соответствует двумерной поверхности, которая гомеоморфна

$$( S^1 \times S^1 )$$

(тору).

Таким образом, мы имеем:

Поверхность ( S ) является гладкой регулярной поверхностью размерности 3 и гомеоморфна

$$( S^3 )$$

.
Поверхность ( Q ) является гладкой регулярной поверхностью размерности 2 и гомеоморфна

$$( S^1 \times S^1 )$$

(тору).

-- 17.10.2024, 17:30 --

Это правильное решение?

Нет, не решение, решения тут вообще нет. Хотя ответы верные.
А спросите у вашего искусственного друга то же, но для поверхности $z^2+w^2=1$, скажем. И сами попробуйте ответить.

[DariaRychenkova]

Deathrose

В решении не учтено, что мы берём модуль комплексного числа

-- 17.10.2024, 19:06 --

Deathrose

Вы бы предложили здесь ввести новые переменные и дальше решать с ними?

[Deathrose]

DariaRychenkova в сообщении #1658865 писал(а):

Deathrose

В решении не учтено, что мы берём модуль комплексного числа

В каком решении? Пока нет никакого решения у вас, ой, то есть, у нейросети.

-- 17.10.2024, 18:09 --

Мне просто интересно, что нейросеть напишет по поводу поверхности $z^2+w^2=1$ (без модулей) в $\mathbb{C}^2$. В исходной задаче она ответ угадала. А здесь тоже напишет, что сфера? Уравнений можно и много других взять, менее распространенных.

[DariaRychenkova]

Deathrose

Для такой формулировки: Рассмотрим комплексное двумерное пространство $\mathbb{C}^2(z, w)$ и поверхность $S=\left\{(z, w) \in \mathbb{C}^2 \mid\right.$ $\left.z^2+w^2=1\right\}$ в нем. На поверхности $S$ рассмотрим множество $Q$, задаваемое уравнением $|z|=|w|$. Докажите, что $S$ и $Q$ - гладкие регулярные поверхности размерностей 3 и 2 соответственно. Определите, каким известным поверхностям гомеоморфны $S$ и $Q$.

Выдала:

Поверхность ( S ) представляет собой гладкую регулярную поверхность размерности 3 и гомеоморфна

$$( S^1 \times \mathbb{R}^2 )$$

.
Поверхность ( Q ) также является гладкой регулярной поверхностью размерности 2 и гомеоморфна двумерной сфере

$$( S^2 )$$

.

-- 17.10.2024, 19:19 --

Deathrose

Я очень хочу научиться правильно решать такие задачи

Можете, пожалуйста, объяснить

Нужно расписать модули комплексных чисел, а потом только проверять условия регулярности и гладкости?

-- 17.10.2024, 19:20 --

Deathrose
Объясните, пожалуйста

-- 17.10.2024, 19:27 --

Deathrose
Или порекомендуйте, задачник какой-нибудь

-- 17.10.2024, 19:33 --

Утундрий


Как нормально доказать гомеоморфизм?

-- 17.10.2024, 19:34 --

Подскажите, пожалуйста

[dgwuqtj]

DariaRychenkova в сообщении #1658826 писал(а):

2) Не понимаю зачем дано уравнение для Q, если регулярность подмножества должна следовать из регулярности множества

Почему вы так решили? Само $\mathbb C$ регулярное, но в нём есть нерегулярные подмножества, хотя бы $\{z \mid \operatorname{Re}(z)^3 = \operatorname{Im}(z)^2\}$.

[DariaRychenkova]

dgwuqtj
У нас было утверждение на семинаре, что если дана регулярная поверхность, то ее подмножество с заданными функциями тоже регулярно, при условии что частные производные исходной поверхности одновременно не равны нулю.

Но утверждение было для

$$R^n$$

-- 17.10.2024, 20:21 --

Опрометчиво решила, что тут так же будет

-- 17.10.2024, 20:22 --

dgwuqtj


А как Вы сделали вывод, что всё С регулярное?

При моём текущем уровне, непонятно

[dgwuqtj]

DariaRychenkova, а что такое регулярные множества?

[DariaRychenkova]

dgwuqtj

У меня тот же вопрос

Почему вы говорите, что $\mathbb С$ регулярное

-- 17.10.2024, 20:38 --

Вы обозначили $\mathbb С$, как поле комплексных чисел

-- 17.10.2024, 20:38 --

Вы обозначили $\mathbb С$, как поле комплексных чисел

[dgwuqtj]

Хотите сказать, что вам дали задачу, но не дали определений перед ней?

[DariaRychenkova]

dgwuqtj


Определение. Гладкой регулярной параметризованной поверхностью в $\mathbb{R}^3$ будем называть отображение $\mathbf{r}: D \rightarrow \mathbb{R}^3$ некоторой области $D \subset \mathbb{R}^2$, удовлетворяющее двум условиям:
(i) отображение $\mathbf{r}$ является $C^{\infty}$-гладким в области $D$,
(ii) векторы $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}$ и $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}$ линейно независимы для всех $(u, v) \in D$.

-- 17.10.2024, 20:47 --

Нам рассказывали про отображения

[Ende]

DariaRychenkova
Даже отдельные обозначения нужно оформлять как формулы. Не "поле комплексных чисел C", а "поле комплексных чисел $\mathbb C$"
И не надо центрировать формулы, которые этого не требуют. Двойные доллары размещают формулу по центру, одинарные - оставляют в строке.
Сравните.

$\mathbb C$

Результат: $\mathbb C$

$$\mathbb C$$

Результат:

$$\mathbb C$$

[dgwuqtj]

DariaRychenkova в сообщении #1658886 писал(а):

Определение.

Ну хорошо. Только в задаче отображений нет, пространство четырёхмерное, $S$ трёхмерная штука в нём, а $Q$ двумерная. Вам бы прочитать что-то про основы дифференциальной геометрии, тут на форуме есть подборки хороших источников.