Частицы в гравитационном поле

[drzewo]

На луче $x>0$ оси $Ox$ в невесомости расположена (одномерная) взвесь из одинаковых частиц. Плотность взвеси постоянная и равна $\nu>0$. Какова будет плотность взвеси через время $t$ после того, как включили гравитацию, которая на элемент взвеси $dm$, расположенный на расстоянии $x$ от $O$, действует с силой

$$d\boldsymbol F=-\frac{\gamma dm}{x^2}\boldsymbol e_x\quad ?$$

Частицы между собой не взаимодействуют, $\gamma$ -- положительная константа.

В качестве ответа предлагается записать уравнения из которых однозначно находится плотность. Решение этих уравнений тем более приветствуется:)

[Geen]

А что происходит с частицей при попадании в точку $O$?

[drzewo]

who cares

[realeugene]

drzewo в сообщении #1658202 писал(а):

На луче $x>0$ оси $Ox$

Уже не физика

[drzewo]

(Оффтоп)

Geen в сообщении #1658205 писал(а):

А что происходит с частицей при попадании в точку $O$?

Вы если хотите усложнить вопрос -- я не против. Эта задача сейчас уже не на сообразительность, а на квалификацию. Но может лучше не усложнять, а упростить:
вместо закона всемирного тяготения возьмем однородное поле $-g\boldsymbol e_x$, а вместо константы $\nu$ возьмем какую-нибудь заданную функцию $\nu(x)$. Теперь, думаю, решение можно высосать из пальца причем в явном виде.

[wrest]

Ну так-то на качественном уровне ясно, что при квадртичном законе плотность будет уменьшаться...

[manul91]

(Оффтоп)

Чисто математически вроде так...
В сопутствующих материи координат ($x \rightarrow Q(x,t)$) , координатная плотность $\rho(Q,t)$ должна оставаться постоянной, т.е. в любом моменте времени выполняется
$\rho(Q,t) = \nu(x) = \nu(f(Q,t))$
где связь $x = f(Q,t)$ находим из закона движения частицы в данном поле.
Что и дает нам функцию линейной плотности $\rho(x,t)=\nu(f(x,t))$.

Так, в случае однородного поля будем иметь для новой сопутствующей координатой $Q_x$ исходной частицы на координате $x$ в момент $t=0$:
$Q = Q(x,t) = Q_x(t) = x - \frac{gt^2}{2}$
($x - \frac{gt^2}{2}$ получаем из уравнения движения $\frac{dx^2}{dt^2}= -g$ с условиям "неподвижности взвеси" $\frac{dx}{dt} = 0$ для частицы с начальной координатой $x$ в момент $t=0$)
Отсюда
$\rho(Q,t) = \nu(x) = \nu(Q + \frac{gt^2}{2})$
и непосредственно получаем для $\rho(x,t)$ (простым переименовыванием аргумента $Q$):
$\rho(x,t) = \nu(x + \frac{gt^2}{2})$

[drzewo]

Да, похоже все так. Вот текст, который я заготовил.

1) Находим функцию $z(t,y)$ из задачи Коши

$$\ddot z=-\frac{\gamma}{z^2},\quad z(0)=y,\quad \dot z(0)=0;$$

2) находим функцию $y=y(t,x)$ из уравнения $z(t,y)=x;$
3) находим плотность $\rho(t,x)$ из задачи Коши

$$\rho_t+(\rho v)_x=0,\quad \rho\mid_{t=0}=\nu,\quad v(t,x):=z_t(t,y)\mid_{y=y(t,x)}$$

[wrest]

manul91

manul91 в сообщении #1658233 писал(а):

$\rho(x,t) = \nu(x + \frac{gt^2}{2})$

То есть в случае однородного поля, взвесь просто летит, со всеми своими неоднородностями плотности которые были до включения поля, в сторону $O$ как твердое тело, равноускоренно.

[manul91]

wrest в сообщении #1658236 писал(а):

То есть в случае однородного поля взвесь просто летит в сторону $O$ как твердое тело, равноускоренно.

Ну да вроде логично выходит - поле включается одновременно, при однородном поле частицы движутся синхронно не меняя расстояний относно друг друга - просто все смещается.

[wrest]

manul91 в сообщении #1658237 писал(а):

Ну да вроде логично выходит - поле включается одновременно, при однородном поле частицы движутся синхронно не меняя расстояний относно друг друга - просто все смещается.

Ну да. И для этого [нерелятивитского случая] нужно написать уравнения, чтобы убедиться?

[manul91]

wrest в сообщении #1658238 писал(а):

Ну да. И для этого [нерелятивитского случая] нужно написать уравнения, чтобы убедиться?

Ну это был просто пример применения, если поле неоднородное то уже "смещения взвеси как твердого тела" не будет. А разве задача релятивисткая? Там все заведомо посложнее будет :)

[wrest]

manul91 в сообщении #1658242 писал(а):

если поле неоднородное то уже "смещения взвеси как твердого тела" не будет.

Нет, не будет конечно. Будут приливные силы, которые будут растягивать взвесь (поскольку взвесь как я понял одномерная, типа нулевой толщины) то в поперечном силе тяжести направлении сжатие невозможно).

[realeugene]

drzewo в сообщении #1658235 писал(а):

3) находим плотность $\rho(t,x)$ из задачи Коши

$$\rho_t+(\rho v)_x=0,\quad \rho\mid_{t=0}=\nu,\quad v(t,x):=z_t(t,y)\mid_{y=y(t,x)}$$

Это зачем? Если частицы не взаимодействуют и отображение гладкое и однозначное, то плотность просто пропорциональна $\partial y / \partial x$. Из закона сохранения массы.

[Утундрий]

А как народ понимает "взвесь"?