Эволюция ЕГЭ по математике

[Mihr]

nnosipov в сообщении #1657620 писал(а):

Если решитесь завести отдельную тему, я бы почитал и что-нибудь тоже там написал (поделился бы, так сказать, некоторыми впечатлениями от ЕГЭ). В принципе, это интересно.

Ну вот, решаюсь.
ЕГЭ в качестве эксперимента начался в 2001 году. С 2009 года стал единственной формой выпускных экзаменов в школе и основной формой вступительных экзаменов в вузы. С тех пор, как говорится, много воды утекло.
Изначально, с момента своего появления, ЕГЭ имел множество противников. Претензии, которые к нему предъявлялись, были вполне обоснованы. Особенно это касалось пресловутой «части А», которая позволяла набрать некоторое (немалое) количество баллов простым «проставлением крестиков». Даже ставя «крестики» наугад можно было заработать какие-то баллы. И это, конечно, не было похоже на реальный экзамен: скорее, дурная пародия на него.
Однако от «крестиков» давно отошли, и, по-моему, ранее всего — в ЕГЭ по математике. Структура ЕГЭ менялась, но игры в угадайку не стало. С этого момента ЕГЭ по математике превратился, на мой взгляд, в почти полноценный экзамен.
Совсем полноценным, я полагаю, он стал тогда, когда произошло «расщепление» ЕГЭ по математике на два уровня: базовый и профильный. Действительно, будущим переводчикам или, скажем, историкам совершенно ни к чему знать математику на том же уровне, что и будущим математикам либо технарям. Учёт этого обстоятельства позволил не только упростить экзамен для гуманитариев, но и усложнить, усовершенствовать его для «физиков» (в смысле, для тех, кто не «лирики»).
Занимаясь со школьниками ряд лет по сборникам демоверсий ЕГЭ (они плавно меняются год от года), я стал свидетелем следующих изменений, которые мне нравятся:

1. Изменился в лучшую сторону стиль задач по геометрии. Даже геометрические задания из первой части ЕГЭ теперь, как правило, не «на одну формулу», а «на комбинацию формул». Что же касается геометрических задач из второй части (их две: стереометрическая и планиметрическая), то это уже подлинные экзаменационные задачи, ничуть не уступающие большинству геометрических задач из вступительных экзаменов в ВУЗы советских времён. И зачастую превосходящие их. Нет, если ограничиться рассмотрением задач вступительного экзамена Мехмата МГУ, то, конечно, я неправ. Но если посмотреть на то, что предлагалось на вступительных экзаменах самых различных ВУЗов — тогда геометрические задачи ЕГЭ, как правило, в выигрыше. И ещё такое наблюдение. Если сколько-то лет назад сложность планиметрической задачи из второй части ЕГЭ в значительной степени определялась лишь тем, что необходимо рассмотреть два случая и сделать два разных чертежа (скажем, рассматриваемый треугольник может быть остро- или тупоугольным, и это как-то отражалось на ходе доказательства), то теперь усложнение достигается по-другому. Сначала фигура задана не полностью (скажем, с точностью до подобия), и нужно исходя лишь из имеющихся данных что-то доказать. А затем вводится дополнительная информация: дополнительно известен какой-нибудь отрезок или угол, и нужно что-то вычислить. Такой способ усложнения задачи мне нравится больше.

2. Совсем недавно появились отдельные задания на векторы (ныне 2-я задача ЕГЭ). Пусть несложные, но вынуждающие школьника не пренебрегать этой темой.

3. Несколько лет назад появилась задача такого рода: даны фрагменты графиков одной или двух функций (обычно с отмеченными на них точками, что исключает неоднозначное прочтение условия задачи), и нужно ответить на какой-нибудь вопрос. Например, где графики пересекутся повторно (если их два), или чему равно значение функции, допустим при $x=-9,5$ (если график один). В школе подобному практически не учат, тут нужно разбираться самостоятельно. (Сейчас это задача № 11).

4. Если ещё не очень давно в ЕГЭ входила одна задача по теории вероятностей, то теперь их две (ныне 4-я и 5-я). Первая из них обычно на классическое определение вероятности, иногда на геометрическую вероятность или на простейшие свойства вероятности. Другая посложнее: на использования теорем сложения или умножения, на формулу полной вероятности или на условную вероятность.

5. Если ещё не очень давно присутствовала одна задача на производную или первообразную, теперь таких задач тоже две. Первая (в ЕГЭ 8-я) — на геометрический или физический смысл производной либо на нахождение производной по графику функции и изображению касательной, вторая (12-я) — на исследование функции (максимумы, минимумы, наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке).

6. Некоторое время назад появилась «экономическая» задача (ныне 16-я) — обычно на вклады или платежи. Иногда — на дискретную оптимизацию (оптимальное распределение ресурсов, как правило, дискретных). Если это задача на платежи, то очень важно уметь правильно считать в столбик (для большинства реальных школьников это становится реальной проблемой уже с середины школы). Если на оптимизацию, то считать нужно меньше, а думать больше. Стиль этих задач тоже меняется. Поначалу было что-нибудь вроде: процентная ставка такая-то, долг уменьшается равномерно, если брали такую-то сумму на столько-то месяцев/лет, то сколько в итоге придётся заплатить? Теперь, как правило, посложнее: первые три года ставка была такая-то, потом ещё три года такая-то, и долг уменьшался равномерно, а в самом конце — два равных платежа. И чему же они равны, если брали в долг столько, а в итоге выплатили столько? Ну, или что-нибудь подобное. Далеко не каждый реальный школьник такое решит в условиях цейтнота на экзамене.

7. Отдельно хочется сказать о задаче с параметром (18-я). Если раньше для её решения зачастую хватало каких-нибудь простых соображений (заметим, что функция чётная или строго монотонная или ограниченная…), то теперь подобных соображений сильно недостаточно. Обычно задача с параметром решается либо графически — тут нужно научиться уверенно и правильно строить графики уравнений, — либо аналитически: перепишем уравнение вот так и примем вот эту группу символов за новую переменную, либо выразим $x$ из второго уравнения и подставим в первое, ну, или что-нибудь ещё. В общем, вряд ли решишь на экзамене за ограниченное время, если всерьёз не готовился.

Пожалуй, пока ограничусь сказанным. Думаю, что и эти замечания показывают: ЕГЭ по математике совершенствуется, а не упрощается.
Возражения принимаются

[nnosipov]

Mihr
Спасибо за анализ современных заданий ЕГЭ. Я в 2010-х годах слегка следил за содержимым этого экзамена, даже собирал коллекцию задач как бы самого сложного типа (сначала они назывались "Задача С6", потом структура экзамена поменялась, теперь это "Задача 19"). Это такие типичные олимпиадные задачи, причем в тогдашних тренировочных сборниках задач ЕГЭ была широко представлена теория чисел (что меня и привлекало в первую очередь). Но постепенно это как-то наскучило, да и заказы со стороны знакомых учителей рассказать "как решать задачу С6" со временем иссякли (видимо, они уже сами поднаторели в этом деле). Но всегда был (и пока остается) заказ рассказать "как решать задачу с параметром", причем как от учителей, так и от школьников. На мой наивный взгляд, этот тип задач вполне алгоритмичен, но нужно набить руку, т.е. основательно потренироваться. Сейчас тренировочных задач полно (см. сайт "Решу ЕГЭ", например, или сайт alexlarin.com), там легко можно найти задачи, уровень сложности которых сильно превышает уровень реальных задач ЕГЭ. Любители составлять такие ребусы были всегда, это я испытал на собственной шкуре, когда поступал на мехмат МГУ. Мне тогда попался вот такой шедевр:

Задача с параметром (Мехмат МГУ, 1983). Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{l} |12\sqrt{\cos{\frac{1}{2}\pi y}}-5|-|12\sqrt{\cos{\frac{1}{2}\pi y}}-7|+ |24\sqrt{\cos{\frac{1}{2}\pi y}}+13|=11-\sqrt{\sin{\frac{1}{3}\pi(x-2y-1)}},\\ 2(x^2+(y-a)^2)-1=2\sqrt{x^2+(y-a)^2-\frac{3}{4}} \end{array} \right. $$

имеет хотя бы одно решение.

Естественно, эту задачу я не решил, так как очень мало времени готовился к вступительным экзаменам и вообще слабо представлял, что такое настоящие "задачи с параметром". На современном реальном ЕГЭ такое вряд ли возможно (и слава богу), там задача с параметром выглядит довольно вменяемой, т.е. ее вполне можно решить за разумное время при надлежащей тренировке.

Что касается самой сложной задачи ЕГЭ (последней, типа олимпиадной), то здесь есть настоящие шедевры, причем с реального ЕГЭ. Вот следующие три примера мне хорошо запомнились (они были в один год в период с 2010 по 2016 год, точнее не могу сказать).

Задача 1. Кусок веревки длиной не менее $99$, но не более $102$ называется стандартным.
а) Верёвку разрезали на $33$ стандартных куска разной длины. На какое максимальное число стандартных кусков одинаковой длины можно было бы её разрезать?
б) Найдите такое наименьшее число $L$, что любую верёвку длиной $L$ или более можно разрезать на стандартные куски.

Задача 2. Каждый из группы учащихся сходил или в кино, или в театр, при этом возможно, что кто-то из учащихся мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более $4/13$ от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более $2/5$ от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе $10$ мальчиков, если дополнительно известно, что в группе было $20$ учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что в группе было $20$ учащихся?
в) Какую наименьшую долю от общего числа учащихся в группе могли составлять девочки без дополнительного условия п. а) и б)?

Задача 3. Число $S$ таково, что для любого представления $S$ в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит $1$, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадёт только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превзойдёт $20$.
а) Может ли число $S$ быть равным $40$?
б) Может ли число $S$ быть больше $39\frac{1}{21}$?
в) Найдите максимально возможное значение $S$.

По-моему, это сложные задачи, я бы на самом экзамене не решил. Видимо, в том году была какая-то сингулярность, какой-то всплеск сложности этой и без того сложной "Задачи С6". В последующие годы такого не замечалось.

Было бы интересно узнать, как сейчас обстоят дела с самой сложной задачей ("Задача 19"), каковы здесь тенденции. Кстати, сам формат этой задачи --- три пункта а), б), в) --- неплох: у обычных школьников есть шансы хоть какие-то баллы получить (все как на настоящей олимпиаде, где дают положительные баллы за продвижения в решении задачи). Одно могу заметить: тематика задач стала весьма широкой, теория чисел уже далеко не основной сюжет.

У меня такой вопрос к знатокам: а где можно посмотреть варианты реальных прошедших ЕГЭ? Есть ли они вообще в официальном опубликованном виде? Такое ощущение, что это держат в тайне.

[Mihr]

nnosipov в сообщении #1657677 писал(а):

Но всегда был (и пока остается) заказ рассказать "как решать задачу с параметром", причем как от учителей, так и от школьников. На мой наивный взгляд, этот тип задач вполне алгоритмичен, но нужно набить руку, т.е. основательно потренироваться.

В основном согласен, но насчёт полной алгоритмичности всё же усомнюсь. Как бы там ни было, эта задача - не квадратное уравнение. И не всегда с первого взгляда видно (мне, во всяком случае), какой путь быстрее и успешнее ведёт к цели. Иногда кажется, что, вроде, и аналитическое решение не должно быть слишком сложным, начнёшь решать - и завязнешь в ветвлениях (нужно рассмотреть три частных случая, начинаем рассматривать первый, а он, в свою очередь, тоже ветвится на три...), но нарисуешь графики - и всё становится куда понятнее. А иногда, наоборот, для графического решения нужны достаточно точные и сложные построения, но вдруг по ходу этих построений хлопаешь себя по лбу: а зачем я вообще это рисую? Тут ведь проще решить вот так, без всяких графиков... У меня такое бывает. Но в целом согласен: набравшись определённого опыта можно, по крайней мере, перестать "бояться" подобных задач. Во всяком случае задач разумной сложности. Такие задачи-"монстры", как продемонстрированная Вами задача с параметром из вступительного экзамена на Мехмат МГУ 1983 года, мне в сборниках тренировочных вариантов ЕГЭ никогда не попадались.

nnosipov в сообщении #1657677 писал(а):

Что касается самой сложной задачи ЕГЭ (последней, типа олимпиадной), то здесь есть настоящие шедевры, причем с реального ЕГЭ. Вот следующие три примера мне хорошо запомнились

Задачи реальных ЕГЭ для меня обычно остаются недоступными (в самом деле, почему их не рассекречивают по прошествии времени? - этого я тоже не понимаю), но замечу, что задача с разрезанием верёвки на "стандартные" куски и задача о посещении кино и/или театра мне встречались в сборниках тренировочных вариантов (третью задачу о представлении числа в виде суммы или не видел или совершенно не запомнил). Мне тоже эти задания кажутся заковыристыми, но как-то особенно по отношению к другим типам 19-х задач я их не выделял. А вообще разные типы 19-й задачи мне кажутся сильно неравноценными. Иногда на все три вопроса этого задания можно ответить без особого труда, особенно если знаешь какую-нибудь нетривиальную для школы, но простую формулу (например, формулу количества $\tau (n)$ натуральных делителей заданного натурального числа). А иногда ясно лишь как ответить на первый вопрос и, если как следует подумать, то и на на второй... А вот справиться с третьим вопросом за разумное время шансов практически нет. Так что в девятнадцатой задаче мне видится элемент лотереи: может, повезёт, а может - нет. Во всяком случае "набить руку" на решении 19-й задачи значительно сложнее, чем на решении 18-й. Но то обстоятельство, что на ней дают заработать хоть сколько-то баллов, мне тоже нравится.

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1657677 писал(а):

Задача с параметром (Мехмат МГУ, 1983).

Вы поступали в 1983 году? Оказывается, мы с Вами одногодки

[nnosipov]

Mihr в сообщении #1657683 писал(а):

Так что в девятнадцатой задаче мне видится элемент лотереи: может, повезёт, а может - нет.

Да, очень похоже, что так. В позапрошлом году тренировал одну ученицу, мы брали примеры таких задач на "Решу ЕГЭ", и там, действительно, через раз удавалось решить сравнительно легко, но чаще мы зависали на пункте в) и бросали его. И потом, здесь задачка может попасться из разряда тех, что ты не любишь (у всех олимпиадные вкусы разные). И тогда только усилием воли ее решать.

(Оффтоп)

Похоже, что так . Приятно встретить человека своего поколения.

[worm2]

Mihr в сообщении #1657673 писал(а):

6. Некоторое время назад появилась «экономическая» задача (ныне 16-я) — обычно на вклады или платежи. Иногда — на дискретную оптимизацию (оптимальное распределение ресурсов, как правило, дискретных). Если это задача на платежи, то очень важно уметь правильно считать в столбик (для большинства реальных школьников это становится реальной проблемой уже с середины школы). Если на оптимизацию, то считать нужно меньше, а думать больше. Стиль этих задач тоже меняется. Поначалу было что-нибудь вроде: процентная ставка такая-то, долг уменьшается равномерно, если брали такую-то сумму на столько-то месяцев/лет, то сколько в итоге придётся заплатить? Теперь, как правило, посложнее: первые три года ставка была такая-то, потом ещё три года такая-то, и долг уменьшался равномерно, а в самом конце — два равных платежа. И чему же они равны, если брали в долг столько, а в итоге выплатили столько? Ну, или что-нибудь подобное. Далеко не каждый реальный школьник такое решит в условиях цейтнота на экзамене.

Школьник?? Вот тут д.ф.-м.н.ы не могли понять, как правильно интерпретировать условие задачи, в комфортных условиях неограниченного времени.

[nnosipov]

Этих "экономических" задач я боюсь по одной причине: из-за птичьего языка, на котором они формулируются. Вон то обсуждение это ярко демонстрирует (не видел его раньше, спасибо). Настоящей математики там ноль, но поди пойми, что там написано и что от тебя хотят. Впрочем, в жизни бывает еще хуже. Видимо, таким образом школьников подготавливают к жизненным реалиям.

[F111mon]

Вообще-то критики ЕГЭ исходят из простой посылки: с точки зрения ВУЗа, цель вступительных экзаменов - отобрать абитуриентов, наиболее подходящих для обучения в данном вузе на данной специальности.
Следовательно, задачи экзамена должны быть - не простые, не сложные, а адекватные уровню абитуриентов и позволяющие проявить качества, необходимые для учебы в данном вузе.
Если мы вернемся ко временам зеленой травы и твердых сисек, то тогда, например, на мехмате МГУ и в МФТИ предлагались разные задачи, хотя оба вуза неплохие. А в МГТУ предлагался третий вариант, в МАИ - четвертый, куда-то еще - пятый. И везде (!) задачи предполагали, что абитуриенты этого вуза потратят 5 часов и покажут, на что они способны.
Логично, что единый экзамен не может обеспечить такой же уровень распознавания нужных абитуриентов, нельзя же из экзамена сделать марафон на сутки.

[nnosipov]

Во времена зеленых сисек (это я так сократил) вузы могли себе позволить выбирать. Столичные и сейчас имеют такую возможность, но в провинции гребут всех подряд, ибо идет борьба за контингент. В этом смысле ЕГЭ полезен: если у человека меньше 60, то с ним точно будет очень сложно; если больше 90, то с таким сильно повезло, можно радоваться. В остальных вариантах может быть что угодно.

[Mihr]

worm2 в сообщении #1657716 писал(а):

Вот тут д.ф.-м.н.ы не могли понять, как правильно интерпретировать условие задачи

worm2 в сообщении #1317321 писал(а):

тут довольно сложно понять условие. Есть детали, которые можно с непривычки интерпретировать неправильно, по крайней мере, я бы в паре мест так и ошибся.

Иногда (нечасто) в самом деле встречаются задачи, где нужно вдумываться в условие и гадать: что имеется в виду? В данной задаче я какой-либо неоднозначности условия не обнаружил. Поясните, пожалуйста: что здесь можно по-разному интерпретировать?

[worm2]

Mihr в сообщении #1657761 писал(а):

Поясните, пожалуйста: что здесь можно по-разному интерпретировать?

Там по ссылке обширное обсуждение. Но я рекомендую сначала не подглядывать, попробовать самостоятельно решить. Возможно, и вы сами (по "некрасивому" ответу) пойметё, что что-то где-то пошло не так.
Но если вдруг у вас сразу получился красивый ответ, то вот вам изумлённое восклицание от не столь искушённых:

warlock66613 в сообщении #1317445 писал(а):

lel0lel, но это же ерунда какая-то: срок кредита прошёл, а долг шестьсот тысяч?

[Sender]

nnosipov в сообщении #1657677 писал(а):

Задача с параметром (Мехмат МГУ, 1983). Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

Да, для меня эта задача даже сейчас минут на двадцать тянет. Обычно я старался оставлять такие напоследок, решал уже без черновика, если время поджимало. Когда пытался поступать на ВМиК МГУ, эта стратегия позволила набрать 9/10 по математике, правда, этого не хватило для поступления.

[Mihr]

worm2, здесь чистого эксперимента не получится: я перерешал слишком много подобных задач вместе со школьниками, чтобы споткнуться на этой. Здесь сумма, взятая в кредит, равна 1400 тысяч, после двадцатой выплаты остаётся долг в 600 тысяч.

worm2 в сообщении #1657763 писал(а):

вот вам изумлённое восклицание от не столь искушённых:

Кредит был взят на 21 месяц. 600 тысяч остаётся после предпоследней выплаты.

Но я спрашивал о другом: что именно неоднозначно читается в условии задачи?

[nnosipov]

Sender в сообщении #1657771 писал(а):

Да, для меня эта задача даже сейчас минут на двадцать тянет.

Всего-то на 20? Да Вы реально крутой Я тогда на экзамене догадался только до основной идеи, но техники не хватило ее реализовать.

Sender в сообщении #1657771 писал(а):

эта стратегия позволила набрать 9/10 по математике, правда, этого не хватило для поступления

У меня всегда было ощущение, что поступить на ВМК сложнее, чем на мехмат. И учиться там тоже сложнее.

[Sender]

nnosipov в сообщении #1657777 писал(а):

Всего-то на 20? Да Вы реально крутой

Ну, я в своё время прорешал уйму задач, готовясь к поступлению, видимо, что-то до сих пор сохранилось в подкорке. Был такой отличнейший сборник "Пособие по математике для поступающих в МГУ" авторы Б.И. Александров, М.В. Лурье, 1977 года издания.

-- Пн окт 07, 2024 18:01:19 --

Насколько помню, в том сборнике задачи мехмата и ВМК не слишком отличались друг от друга по сложности. Но на ВМК во времена моего поступления (1999 г) конкурс был значительно выше.

[nnosipov]

Sender в сообщении #1657778 писал(а):

Был такой отличнейший сборник "Пособие по математике для поступающих в МГУ" авторы Б.И. Александров, М.В. Лурье, 1977 года издания.

О подобных сборниках я узнал гораздо позже, а готовился по книжке Г.Н. ЯКОВЛЕВ. ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ Москва: «Наука», 1981 (то, что тогда можно было спокойно купить в книжном магазине). Там были задачи с параметрами, но существенно проще, без изысков. Правда, еще читал журнал "Квант", где публиковались варианты вступительных задач в разные вузы страны. Это, наверное, и спасло от полного провала на письменной математике.