Задача на ЕГЭ про функцию Эйлера

[TOTAL]

$\displaystyle \varphi(n) = \sum_{k=1}^n \gcd{(k,n)}}\cdot{\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right)$
Как школьник будет доказывать это равенство?

[nnosipov]

Эта задача с Российского фестиваля юных математиков 2011 года, при чем здесь ЕГЭ? Хотелось бы видеть ссылку на источник.

[TOTAL]

nnosipov в сообщении #1657586 писал(а):

... при чем здесь ЕГЭ? Хотелось бы видеть ссылку на источник.

ЕГЭ совершенствуется, такая задача может в нём появиться. Юные математики на фестивале могли решить её проще.

[Mihr]

TOTAL в сообщении #1657589 писал(а):

ЕГЭ совершенствуется

Согласен.

TOTAL в сообщении #1657589 писал(а):

такая задача может в нём появиться.

Более чем сомнительно.

[nnosipov]

Мне тоже думается, что такие задачи в ЕГЭ были бы фантастикой. Наоборот, ЕГЭ движется в сторону упрощения и примитивизации.

TOTAL в сообщении #1657589 писал(а):

Юные математики на фестивале могли решить её проще.

Для этих так называемых "юных математиков" задача и так простая (неужели им никто не рассказал про функции Эйлера, Мёбиуса и вообще про мультипликативные функции? как-то сомнительно). Не знаю, как с оригинальным решением (от составителей вариантов задач; найти его не удалось), но если мы хотим просто и без извращений решить задачу, то здесь нет никакой интриги.

[wrest]

Википедия (и русскоязычная косвенно и англоязычная прямо) ссылаются на получение этого результата (как частный случай) в 2008 году в
Schramm, Wolfgang (2008), "The Fourier transform of functions of the greatest common divisor", Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, A50.
DOI: 10.5281/zenodo.10100600

[nnosipov]

wrest
Этому результату в обед сто лет, еще Рамануджану был известен.

[wrest]

nnosipov в сообщении #1657607 писал(а):

Этому результату в обед сто лет, еще Рамануджану был известен.

А википедикам, видимо, нет

[nnosipov]

Ну, я тоже не знал об этих вещах до примерно 2018 года, а потом узнал: О вычислении конечных тригонометрических сумм, стр. 174-208 (пардон за саморекламу).

[Mihr]

(nnosipov)

nnosipov в сообщении #1657604 писал(а):

ЕГЭ движется в сторону упрощения и примитивизации

У меня обратное впечатление. Но здесь спорить по этому поводу - явный оффтоп.
Если Ваши слова - просто следствие негативного отношения к ЕГЭ как к явлению, то нет смысла возражать. Если же Вы хорошо знакомы с ЕГЭ и действительно так считаете, то интересно было бы узнать, почему. В отдельной теме, разумеется.

[wrest]

nnosipov в сообщении #1657611 писал(а):

Ну, я тоже не знал об этих вещах до примерно 2018 года, а потом узнал:

Так и у вас там ссылка на то же, что и в википедии.
Я к тому, что утверждение

nnosipov в сообщении #1657604 писал(а):

Для этих так называемых "юных математиков" задача и так простая

как мне кажется, очень уж сильное.

[nnosipov]

(Mihr)

Нет, у меня чисто фрагментарные впечатления, сужу по ЕГЭ этого года, про который мне коллеги говорили, что он очень простой. Возможно, это только в нашей местности. Но я не вижу причин его усложнять --- школьники с каждым годом все хуже знают математику.

-- Вс окт 06, 2024 17:34:29 --

wrest в сообщении #1657616 писал(а):

как мне кажется, очень уж сильное

Да нет, там же участвуют школьники из высшей лиги (физ-мат школы Москвы, Питера и т.п.), для них такие задачки обыденность.

[Mihr]

(nnosipov)

nnosipov в сообщении #1657617 писал(а):

сужу по ЕГЭ этого года, про который мне коллеги говорили, что он очень простой

Понятно. Об этом же говорили и школьники, сдававшие ЕГЭ прошедшим летом. Причём в разных регионах страны. Но бывали и другие годы. Когда говорилось обратное: реальный экзамен оказался сложнее, чем ожидалось, сложнее, чем он был отражён в демоверсиях. Так что "локальные колебания" уровня сложности встречаются, но общий тренд развития ЕГЭ, на мой взгляд, - совершенствование и усложнение. Могу рассказать подробнее, почему так считаю, но вот не знаю, будет ли это хоть кому-нибудь интересно. А среднее отношение к ЕГЭ в ВУЗах, и как следствие, на этом форуме - скорее отрицательное. У меня такое впечатление.

[nnosipov]

(Mihr)

Если решитесь завести отдельную тему, я бы почитал и что-нибудь тоже там написал (поделился бы, так сказать, некоторыми впечатлениями от ЕГЭ). В принципе, это интересно.

[Mihr]

(nnosipov)

nnosipov, хорошо. Наверно, ночью напишу. Сейчас, урывками между занятиями, не получится.