How to prove that the daise equation is not separable?

[Knight2023]

The equation is the following:

$$ u_{xx} + u_{xy} + u_{yy} = 0 $$

If we assume the solution to be of the form $u = \phi (x) \psi (y)$, then substituting this back into the equation would result:

$$ \phi '' \psi + \phi ' \psi ' + \phi \psi '' = 0 $$

I have tried separating $\phi$ and $\psi$, but couldn't get them separated. But just because I cannot get them separated does it imply they are not separable? Can some analysis prove that they are not separable?

[drzewo]

$(\partial_x+\frac{1}{2}\partial_y)^2+\frac{3}{4}\partial_y^2$

-- 18.09.2024, 21:11 --

Knight2023 в сообщении #1655307 писал(а):

But just because I cannot get them separated does it imply they are not separable?

another inadequate question

[Red_Herring]

Фокус в том что уравнения, разделяемые в одних системах координат, неразделимы в других. А вот системы координат часто диктуются формой области.

[svv]

Knight2023 в сообщении #1655307 писал(а):

daise equation

А что это значит?

[Knight2023]

Ostensibly, the seriousness of this question is not yet realized.

The issue is that if we let the solution to be of the form $u= \phi(x) \psi(y)$, then we get

$$ \phi '' \psi +\phi' \psi ' + \phi \psi '' = 0$$

which doesn't seem to separate out. However, if we let the solution to be of the form $u = e^{rx +sy}$, then substitution yields

$$ r^2 u + rs u + s^2 u = 0 $$

Which solves out to give the following two families of the solutions:

$$ u = e^{-sx} \cos (\sqrt 3 x) e^{sy} ~~~~~~~~~~~~~~~ v= e^{-sx} \sin(\sqrt 3 x) e^{sy} $$

That is, the solution is of the form $\phi(x) \psi(y)$.

Again, if we let the solution to be of form $u = \phi(x) \psi(y) $ and assume $\psi$ to be linear that is its second derivative vanishes, then indeed the equation will be separable.

Therefore, it seems as if the property of separability is not inherent in the equation itself rather it is about what form we choose for our sample solution, unlike the case of matrices. A matrix is invertible (or not invertible) irrespective of what determinant function we define, the invertibility is inherent in the matrix itself.

-- 21.09.2024, 19:37 --

svv в сообщении #1655343 писал(а):

Knight2023 в сообщении #1655307 писал(а):

daise equation

А что это значит?

At other places we simply call it typo.

[svv]

Knight2023
What was the initial word?

[mihiv]

Для разделения переменных перепишем уравнение в виде:

$$\dfrac {\phi _{xx}}{\phi }+\dfrac {\phi _{x}}{\phi }\dfrac {\psi _{y}}{\psi }+\dfrac {\psi _{yy}}{\psi }=0\eqno (1)$$

Продифференцируем (1) по $x$, получим:

$$\dfrac {\partial }{\partial x}\left (\dfrac {\phi _{xx}}{\phi }\right )=-\dfrac {\psi _{y}}{\psi }\dfrac {\partial }{\partial x}\left (\dfrac {\phi _{x}}{\phi }\right )\eqno (2)$$

Из (2) заключаем, что

$$\dfrac {\psi _{y}}{\psi }=s$$

Аналогичным образом дифференцируем затем (1) по $y$ и видим, что

$$\dfrac {\phi _{x}}{\phi }=r$$

[drzewo]

mihiv в сообщении #1656614 писал(а):

Для разделения переменных перепишем уравнение в виде:

Там выше уравнение приведено к каноническому виду. Это стандартная задача. Так что формулы у Вас красивые, но несколько избыточные:)

[mihiv]

drzewo в сообщении #1656622 писал(а):

Там выше уравнение приведено к каноническому виду. Это стандартная задача.

Мне кажется, еще один способ не помешает.

[Knight2023]

mihiv в сообщении #1656614 писал(а):

Для разделения переменных перепишем уравнение в виде:

$$\dfrac {\phi _{xx}}{\phi }+\dfrac {\phi _{x}}{\phi }\dfrac {\psi _{y}}{\psi }+\dfrac {\psi _{yy}}{\psi }=0\eqno (1)$$

Продифференцируем (1) по $x$, получим:

$$\dfrac {\partial }{\partial x}\left (\dfrac {\phi _{xx}}{\phi }\right )=-\dfrac {\psi _{y}}{\psi }\dfrac {\partial }{\partial x}\left (\dfrac {\phi _{x}}{\phi }\right )\eqno (2)$$

Из (2) заключаем, что

$$\dfrac {\psi _{y}}{\psi }=s$$

Аналогичным образом дифференцируем затем (1) по $y$ и видим, что

$$\dfrac {\phi _{x}}{\phi }=r$$

Thank you so much.

I only have this doubt, when we differentiate equation 1 with respect to x (or y) don't we actually change the original equation? I mean, does this type of transformation retains the essence of the original equation (I guess yes, because it is reversible?)

-- 29.09.2024, 14:23 --

svv в сообщении #1655511 писал(а):

Knight2023
What was the initial word?

How to prove that this equation is not separable?

[mihiv]

Knight2023 в сообщении #1656636 писал(а):

don't we actually change the original equation? I mean, does this type of transformation retains the essence of the original equation (

The only assumption we make is that $\phi ,\psi $ are 3-times differentiable.

[Knight2023]

mihiv в сообщении #1656643 писал(а):

Knight2023 в сообщении #1656636 писал(а):

don't we actually change the original equation? I mean, does this type of transformation retains the essence of the original equation (

The only assumption we make is that $\phi ,\psi $ are 3-times differentiable.

Got it. Thanks.

[drzewo]

mihiv в сообщении #1656643 писал(а):

The only assumption we make is that $\phi ,\psi $ are 3-times differentiable.

На самом деле ТС задал правильный вопрос, что для него нехарактерно.

mihiv в сообщении #1656614 писал(а):

$$\dfrac {\psi _{y}}{\psi }=s$$

Аналогичным образом дифференцируем затем (1) по $y$ и видим, что

$$\dfrac {\phi _{x}}{\phi }=r$$

Из этих уравнений следует, что решением является функция

$$Ce^{rx+sy}$$

Непосредственной проверкой легко убедиться, что это неверно без дополнительных условий на константы.
Причина именно в этом лишнем дифференцировании