2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Точные дифференциальные формы
Сообщение26.09.2024, 00:16 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
Не уверен, олимпиадные ли это задачи, одна простая, другая сложнее.
Пусть $M$ и $T$ -- многообразия (всё $C^\infty$), $\alpha_t$ -- семейство дифференциальных форм на $M$, гладко параметризованное точками $t\in T$, причём для любого $t\in T$ форма $\alpha_t$ точна.
1) Предположим, что $T$ компактно и снабжено формой объёма $dt$. Докажите, что форма $\int_Tdt\,\alpha_t$ на $M$ точна.
2) Предположим, что $T=\mathbb R$. Докажите, что существует гладкое семейство дифференциальных форм $\beta_t$ на $M$, такое что для любого $t\in T$ выполнено $d\beta_t=\alpha_t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точные дифференциальные формы
Сообщение26.09.2024, 18:16 


21/12/16
689
Если $M$ это открытый шар $B\subset\mathbb{R}^m$ то пункт 2) получается сразу. Неужели весь смысл утверждения в топологии $M$...

-- 26.09.2024, 19:19 --

Кстати, форма зависящая от времени как от параметра для механики это вещь не праздная

 Профиль  
                  
 
 Re: Точные дифференциальные формы
Сообщение27.09.2024, 16:06 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
Да, если $M$ -- это шар, то нетрудно задать формулой оператор, обратный к дифференциалу (его выписывают при доказательстве, что у шара когомологии де Рама как у точки) -- и из формулы видно, что он переводит гладкие семейства в гладкие.
А именно, считаем для определённости, что $M$ с центром в $0$, обозначим $f_s:M\to M$ умножение на $s\in[0,1]$ и $X$ -- соответствующее векторное поле на $M$ ($X=x^i\frac{\partial}{\partial x^i}$), пусть $\alpha$ -- замкнутая форма на $M$, тогда $\alpha=f_1^*\alpha-f_0^*\alpha=\int_{[0,1]}ds\frac d{ds}f_s^*\alpha =\int_{[0,1]}ds f_s^*L_X\alpha =\int_{[0,1]}dsf_s^*d\iota_X\alpha$ (по формуле Картана $L_X=d\iota_X+\iota_Xd$), так что $\alpha=d\int_{[0,1]}dsf^*_s\iota_X\alpha$.
Для произвольного многообразия я не умею выписывать подобную формулу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точные дифференциальные формы
Сообщение28.09.2024, 10:13 


21/12/16
689
Утверждение 2) верно для всякого открытого множества $M\subset\mathbb{R}^m$.
Это я второй том <Анализа> Л. Шварца листаю, вот дошел до очередной теоремы:)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group