Точные дифференциальные формы

[Slav-27]

Не уверен, олимпиадные ли это задачи, одна простая, другая сложнее.
Пусть $M$ и $T$ -- многообразия (всё $C^\infty$), $\alpha_t$ -- семейство дифференциальных форм на $M$, гладко параметризованное точками $t\in T$, причём для любого $t\in T$ форма $\alpha_t$ точна.
1) Предположим, что $T$ компактно и снабжено формой объёма $dt$. Докажите, что форма $\int_Tdt\,\alpha_t$ на $M$ точна.
2) Предположим, что $T=\mathbb R$. Докажите, что существует гладкое семейство дифференциальных форм $\beta_t$ на $M$, такое что для любого $t\in T$ выполнено $d\beta_t=\alpha_t$.

[drzewo]

Если $M$ это открытый шар $B\subset\mathbb{R}^m$ то пункт 2) получается сразу. Неужели весь смысл утверждения в топологии $M$...

-- 26.09.2024, 19:19 --

Кстати, форма зависящая от времени как от параметра для механики это вещь не праздная

[Slav-27]

Да, если $M$ -- это шар, то нетрудно задать формулой оператор, обратный к дифференциалу (его выписывают при доказательстве, что у шара когомологии де Рама как у точки) -- и из формулы видно, что он переводит гладкие семейства в гладкие.
А именно, считаем для определённости, что $M$ с центром в $0$, обозначим $f_s:M\to M$ умножение на $s\in[0,1]$ и $X$ -- соответствующее векторное поле на $M$ ($X=x^i\frac{\partial}{\partial x^i}$), пусть $\alpha$ -- замкнутая форма на $M$, тогда $\alpha=f_1^*\alpha-f_0^*\alpha=\int_{[0,1]}ds\frac d{ds}f_s^*\alpha =\int_{[0,1]}ds f_s^*L_X\alpha =\int_{[0,1]}dsf_s^*d\iota_X\alpha$ (по формуле Картана $L_X=d\iota_X+\iota_Xd$), так что $\alpha=d\int_{[0,1]}dsf^*_s\iota_X\alpha$.
Для произвольного многообразия я не умею выписывать подобную формулу.

[drzewo]

Утверждение 2) верно для всякого открытого множества $M\subset\mathbb{R}^m$.
Это я второй том <Анализа> Л. Шварца листаю, вот дошел до очередной теоремы:)