2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Существование точек дифференцируемости
Сообщение26.09.2024, 15:05 


30/08/23
54
Добрый день, уважаемые участники форума. Наткнулся недавно на вот такую задачу:
Есть функция от двух переменных (x,y). Известно, что в каждой точке есть частные производные по всем переменным. Нужно доказать, что есть точка дифференцируемости.
Буду благодарен за подсказку в решении или ссылку на источник, где разбирается эта задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование точек дифференцируемости
Сообщение26.09.2024, 23:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8484
Долго ждал, пока выскажутся математики. Но поскольку реакции нет, скажу банальность.

Итак, требуется доказать утверждение (I):

Есть функция $f \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R$. Если в каждой точке есть частные производные по всем переменным, то есть точка дифференцируемости.

По общеизвестной теореме, чтобы упомянутая функция $f$ была дифференцируема в точке $(x_0, y_0)$, достаточно, чтобы все частные производные были непрерывны в т. $(x_0, y_0)$.

Таким образом, достаточно доказать утверждение (II):
Если частные производные всюду есть, то в некоторой точке обе они непрерывны.

Это утверждение звучит довольно странно (как, впрочем, и исходное) и побуждает искать скорее контрпример, чем доказательство.

В поисках контрпримера к утверждению (II) полезно ответить на следующий вопрос: существует ли дифференцируемая функция одной переменной, производная которой всюду разрывна? (Пример функции, производная которой разрывна в одной точке, известен). Если такая функция $\varphi \colon \mathbb R \to \mathbb R$ существует, то достаточно положить, что $f(x, y) \equiv \varphi(x)$, чтобы получить контрпример к утверждению (II). Полезно будет проверить, является ли он контпримером и к утверждению (I).

Извините, если наговорил ерунды.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование точек дифференцируемости
Сообщение27.09.2024, 00:23 


30/08/23
54
Anton_Peplov в сообщении #1656214 писал(а):
Долго ждал, пока выскажутся математики. Но поскольку реакции нет, скажу банальность.

Итак, требуется доказать утверждение (I):

Есть функция $f \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R$. Если в каждой точке есть частные производные по всем переменным, то есть точка дифференцируемости.

По общеизвестной теореме, чтобы упомянутая функция $f$ была дифференцируема в точке $(x_0, y_0)$, достаточно, чтобы все частные производные были непрерывны в т. $(x_0, y_0)$.

Таким образом, достаточно доказать утверждение (II):
Если частные производные всюду есть, то в некоторой точке обе они непрерывны.

Это утверждение звучит довольно странно (как, впрочем, и исходное) и побуждает искать скорее контрпример, чем доказательство.

В поисках контрпримера к утверждению (II) полезно ответить на следующий вопрос: существует ли дифференцируемая функция одной переменной, производная которой всюду разрывна? (Пример функции, производная которой разрывна в одной точке, известен). Если такая функция $\varphi \colon \mathbb R \to \mathbb R$ существует, то достаточно положить, что $f(x, y) \equiv \varphi(x)$, чтобы получить контрпример к утверждению (II). Полезно будет проверить, является ли он контпримером и к утверждению (I).

Извините, если наговорил ерунды.


О том же самом думал! Я пока нашёл пример дифференцируемой функции, производная которой разрывна в континууме точек. Тем не менее, множество точек разрыва в этом примере является множеством меры нуль. И существует ли дифференцируемая функция, производная которой всюду разрывна - не ясно

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование точек дифференцируемости
Сообщение27.09.2024, 01:44 


22/11/22
605
Bober2 в сообщении #1656217 писал(а):
И существует ли дифференцируемая функция, производная которой всюду разрывна - не ясно

Нет, не существует, это следует из теоремы Бэра о категориях. Оттуда же следует, что производная (дифференцируемой в области) функции непрерывна на подмножестве, всюду плотном там. Попробуйте этим воспользоваться, тем или другим или всем вместе, я на сегодня уже пас, среди ночи тонкими материями заниматься. Разве кто другой.

Upd/ Кстати, вроде довольно просто должно получаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование точек дифференцируемости
Сообщение27.09.2024, 04:10 


22/11/22
605
Combat Zone в сообщении #1656219 писал(а):
Кстати, вроде довольно просто должно получаться.

Я имею в виду, конечно, основное утверждение стартового поста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование точек дифференцируемости
Сообщение27.09.2024, 10:56 


30/08/23
54
Combat Zone в сообщении #1656219 писал(а):
Bober2 в сообщении #1656217 писал(а):
И существует ли дифференцируемая функция, производная которой всюду разрывна - не ясно

Нет, не существует, это следует из теоремы Бэра о категориях. Оттуда же следует, что производная (дифференцируемой в области) функции непрерывна на подмножестве, всюду плотном там. Попробуйте этим воспользоваться, тем или другим или всем вместе, я на сегодня уже пас, среди ночи тонкими материями заниматься. Разве кто другой.


Я, кажется, понял, как это доказывается через теорему Бэра. Рассмотрим последовательность функций $f_n(x) = \frac{f(x+\frac{1}{n})-f(x)}{\frac{1}{n}}$. Эта последовательность поточечно сходится к производной. Из теоремы Бэра следует, что поточечный предел непрерывных функций имеет точки непрерывности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование точек дифференцируемости
Сообщение27.09.2024, 11:03 


22/11/22
605
Да, примерно так. Сперва смотрим частные производные по одному направлению в каждой фиксированной точке. Находим точку непрерывности, в ней смотрим производную по другому направлению. Снова находим точку непрерывности.

Хотя нет, так просто не выйдет, надо еще допилить.

Оставлю на минуточку, что непрерывность обеих частных производных - это много счастья, все-таки это достаточное условие. Так что даже если мы не сумеем его обеспечить ни в одной точке (мало ли), это еще ничего не будет означать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование точек дифференцируемости
Сообщение27.09.2024, 11:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12415
Bober2 в сообщении #1656233 писал(а):
Рассмотрим последовательность фунаций
Фундированную?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование точек дифференцируемости
Сообщение27.09.2024, 14:52 


30/08/23
54
Combat Zone в сообщении #1656234"
Хотя нет, так просто не выйдет, надо еще допилить.
[/quote]

Можно, в случае если [math]$f(x,y)$[/math] непрерывна, сделать действия, аналогичные док-ву существования точки непрерывности у производной.
Рассмотрим такую последовательность функций:
[math]$f_n: R^2 \times S^1 \rightarrow R$[/math], где [math]$ f_n(x,y,u,v) := n(f(x+\frac{1}{n}u, y+\frac{1}{n}v)-f(x,y))$[/math]. Точка [math]$(u,v)$[/math] принадлежит единичной окуржности на плоскости. [math]$R^2 \times S^1$[/math] - полное метрическое пространство, [math]$f_n$[/math] поточечно сходится к [math]$df(x,y,u,v) = f_xu+$f_yv[/math]. Тогда у нас найдётся точка непрерывности у дифференциала. Эта и будет точка дифференцируемости исходной функции

[size=75]-- 27.09.2024, 15:01 --[/size]

[quote="Bober2 в сообщении #1656257
писал(а):
[quote="Combat Zone в сообщении #1656234"

Можно, в случае если $f(x,y)$ непрерывна, сделать действия, аналогичные док-ву существования точки непрерывности у производной.
Рассмотрим такую последовательность функций:
$f_n: R^2 \times S^1 \rightarrow R$, где $ f_n(x,y,u,v) := n(f(x+\frac{1}{n}u, y+\frac{1}{n}v)-f(x,y))$. Точка $(u,v)$ принадлежит единичной окуржности на плоскости. $R^2 \times S^1$ - полное метрическое пространство, $f_n$ поточечно сходится к $df(x,y,u,v) = f_xu+$f_yv. Тогда у нас найдётся точка непрерывности у дифференциала. Эта и будет точка дифференцируемости исходной функции


Хотя нет, тут ошибка. Если у нас какая-нибудь из координат, например $u$, равна нулю, то я не могу утверждать, что $f_x$ непрерывна. Можно только утверждать, что она ограничена в некотором интервале. Но, если я уберу из окружности точки $(0,1),(1,0), (0,-1), (-1,0)$, то я получу что-то, гомеоморфное несвязному объединения 4-х экземпляров $\mathbb{R}$. Это тоже будет полным метрическим пространством. Тогда доказательство дальше проходит без проблем. Что скажите?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование точек дифференцируемости
Сообщение27.09.2024, 19:39 


22/11/22
605
Да нет.
Bober2 в сообщении #1656257 писал(а):
Точка $(u,v)$ принадлежит единичной окуржности на плоскости. $R^2 \times S^1$ - полное метрическое пространство, $f_n$ поточечно сходится к $df(x,y,u,v) = f_xu+$f_yv.

Никто не обещал существования этого предела. Именно его, существование, т.е. дифференцируемость, и хочется иметь. По умолчанию, исходно, ее нет.

Конструктива у меня нынче не будет, нет свободного времени нынче. Надо думать дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование точек дифференцируемости
Сообщение27.09.2024, 20:03 


30/08/23
54
Combat Zone в сообщении #1656338 писал(а):
Да нет.
Bober2 в сообщении #1656257 писал(а):
Точка $(u,v)$ принадлежит единичной окуржности на плоскости. $R^2 \times S^1$ - полное метрическое пространство, $f_n$ поточечно сходится к $df(x,y,u,v) = f_xu+$f_yv.

Никто не обещал существования этого предела. Именно его, существование, т.е. дифференцируемость, и хочется иметь. По умолчанию, исходно, ее нет.

Конструктива у меня нынче не будет, нет свободного времени нынче. Надо думать дальше.


Да, я тоже нашёл у себя эту ошибку. Но она несложно устроняется. Если у меня есть последовательность функций из полного метрического пространства в метрическое пространство, то её поточечный предел будет иметь точку непрерывности. Тогда построим такую последовательность:
$f_n(x,y):=(n(f(x+\frac{1}{n},y)-f(x,y)),n(f(x,y+\frac{1}{n})-f(x,y)))$
Такая последовательность сходится к $(f_x,f_y)$ поточечно. Значит есть точка, где частные производные непрерывны

-- 27.09.2024, 20:08 --

Мне уже дальше рассказали, как добивается эта задача в случае разрывной функции. Там можно найти область при помощи теоремы Бэра, где функция будет непрерывной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование точек дифференцируемости
Сообщение27.09.2024, 20:17 


22/11/22
605
Bober2 в сообщении #1656346 писал(а):
Мне уже дальше рассказали, как добивается эта задача в случае разрывной функции. Там можно найти область при помощи теоремы Бэра, где функция будет непрерывной.

А, хорошо. Сюда пока не кладите, пожалуйста :) мы с коллегами поспорили, кто раньше ее добьет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group