Долго ждал, пока выскажутся математики. Но поскольку реакции нет, скажу банальность.
Итак, требуется доказать
утверждение (I):
Есть функция
. Если в каждой точке есть частные производные по всем переменным, то есть точка дифференцируемости.
По общеизвестной теореме, чтобы упомянутая функция
была дифференцируема в точке
, достаточно, чтобы все частные производные были непрерывны в т.
.
Таким образом, достаточно доказать
утверждение (II):Если частные производные всюду есть, то в некоторой точке обе они непрерывны.
Это утверждение звучит довольно странно (как, впрочем, и исходное) и побуждает искать скорее контрпример, чем доказательство.
В поисках контрпримера к утверждению (II) полезно ответить на следующий вопрос:
существует ли дифференцируемая функция одной переменной, производная которой всюду разрывна? (Пример функции, производная которой разрывна в одной точке, известен). Если такая функция
существует, то достаточно положить, что
, чтобы получить контрпример к утверждению (II). Полезно будет проверить, является ли он контпримером и к утверждению (I).
Извините, если наговорил ерунды.