Замена переменной в интеграле по области

[drzewo]

Речь идет о формуле $\int_{x(D)}f(x)dx_1\ldots,dx_n=\int_Df(x(y))\Big|\frac{\partial x}{\partial y}\Big|dy_1\ldots dy_n$
Есть ли современные доказательства этой теоремы по-проще классики типа Мат. анализа Никольского? По-проще -- это, например, опирающиеся на какую-то продвинутую общую технику?
Или хотя бы изложенные не столь мучительно...

[mihaild]

У Рудина вроде бы чуть получше, хотя тоже не очень приятно.
Ключевой момент и у Рудина и у Никольского - что объем при отображении умножается на якобиан. У Рудина используется вспомогательное техническое утверждение, что гладкое отображение представляется в виде композиции линейных и действующих только на одну координату, соответственно утверждение про объем ему нужно только для одномерного случая.

[drzewo]

Да, у Рудина это съедобней. Спасибо.

[Padawan]

С помощью формулы Грина можно доказать, что если есть сохраняющее ориентацию отображение $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$ области $\Omega$ на область $D$, то

$$m(D)=\iint_\Omega \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}dudv.$$

$$ m(D)=\int_{\partial D} xdy=\int_{\partial\Omega} x(u,v)\left(\frac{\partial y(u,v)}{\partial u}du+\frac{\partial y(u,v)}{\partial v}dv\right)= $$

$$ =\iint_\Omega\left(\frac{\partial }{\partial u}\left(x(u,v)\frac{\partial y(u,v)}{\partial v}\right)-\frac{\partial }{\partial v}\left(x(u,v)\frac{\partial y(u,v)}{\partial u}\right)\right)dudv=\iint_\Omega \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}dudv. $$

Но сначала надо тогда криволинейные интегралы вводить, хотя они обычно идут после кратных.

-- Вт сен 24, 2024 20:55:20 --

Можно ещё попробовать аппроксимировать отображение кусочно-линейным, чтобы само отображение и частные производные равномерно сходились. И перейти к пределу. Вроде бы реально.

[drzewo]

Padawan в сообщении #1655934 писал(а):

С помощью формулы Грина можно доказать

Вот это мне как-то подозрительно. Формула Грина -- это ладно. А если многомерный случай, когда не кривая, а поверхность с картами, которые перекрываются. Там, ведь, даже просто для того что бы определить интеграл от дифференциальной формы нужна теорема из стартового поста. Разве нет?
Это я имею в виду Ваше рассуждение обобщать на многомерный случай с помошью формулы Стокса

[Padawan]

Да, с обобщением на многомерный случай плохо.

[drzewo]

Padawan в сообщении #1655934 писал(а):

Можно ещё попробовать аппроксимировать отображение кусочно-линейным

да и так еще что бы линейные куски на кирпичах действовали

[Slav-27]

Тут довольно симпатично, по-моему: Kowalski, Measure and integral, доказательство начинается внизу страницы, подписанной 122.

-- 25.09.2024, 13:58 --

При желании ещё можно не определять интеграл от функций, а сразу от дифференциальных форм, на основании двойственности Пуанкаре, тогда эта формула будет следствием линейной алгебры. Но будут другие сложности, конечно, например, надо будет отдельно продолжать интеграл с $C^\infty$ функций на более общие.

[Padawan]

В лекциях С. В. Шапошникова в НМУ есть то, что надо: https://old.mccme.ru/ium/f23/f23-Calculus3.html. В лекциях 2 и 3. Из продвинутого используется теорема Радона-Никодима и теорема о точках Лебега интегрируемой функции.

[drzewo]

спасибо, посмотрю