2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Замена переменной в интеграле по области
Сообщение24.09.2024, 13:25 


21/12/16
721
Речь идет о формуле $\int_{x(D)}f(x)dx_1\ldots,dx_n=\int_Df(x(y))\Big|\frac{\partial x}{\partial y}\Big|dy_1\ldots dy_n$
Есть ли современные доказательства этой теоремы по-проще классики типа Мат. анализа Никольского? По-проще -- это, например, опирающиеся на какую-то продвинутую общую технику?
Или хотя бы изложенные не столь мучительно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в интеграле по области
Сообщение24.09.2024, 14:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9091
Цюрих
У Рудина вроде бы чуть получше, хотя тоже не очень приятно.
Ключевой момент и у Рудина и у Никольского - что объем при отображении умножается на якобиан. У Рудина используется вспомогательное техническое утверждение, что гладкое отображение представляется в виде композиции линейных и действующих только на одну координату, соответственно утверждение про объем ему нужно только для одномерного случая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в интеграле по области
Сообщение24.09.2024, 14:40 


21/12/16
721
Да, у Рудина это съедобней. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в интеграле по области
Сообщение24.09.2024, 18:24 
Заслуженный участник


13/12/05
4591
С помощью формулы Грина можно доказать, что если есть сохраняющее ориентацию отображение $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$ области $\Omega$ на область $D$, то
$$m(D)=\iint_\Omega \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}dudv.$$

$$
m(D)=\int_{\partial D} xdy=\int_{\partial\Omega} x(u,v)\left(\frac{\partial y(u,v)}{\partial u}du+\frac{\partial y(u,v)}{\partial v}dv\right)=
$$
$$
=\iint_\Omega\left(\frac{\partial }{\partial u}\left(x(u,v)\frac{\partial y(u,v)}{\partial v}\right)-\frac{\partial }{\partial v}\left(x(u,v)\frac{\partial y(u,v)}{\partial u}\right)\right)dudv=\iint_\Omega \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}dudv.
$$

Но сначала надо тогда криволинейные интегралы вводить, хотя они обычно идут после кратных.

-- Вт сен 24, 2024 20:55:20 --

Можно ещё попробовать аппроксимировать отображение кусочно-линейным, чтобы само отображение и частные производные равномерно сходились. И перейти к пределу. Вроде бы реально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в интеграле по области
Сообщение24.09.2024, 19:11 


21/12/16
721
Padawan в сообщении #1655934 писал(а):
С помощью формулы Грина можно доказать

Вот это мне как-то подозрительно. Формула Грина -- это ладно. А если многомерный случай, когда не кривая, а поверхность с картами, которые перекрываются. Там, ведь, даже просто для того что бы определить интеграл от дифференциальной формы нужна теорема из стартового поста. Разве нет?
Это я имею в виду Ваше рассуждение обобщать на многомерный случай с помошью формулы Стокса

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в интеграле по области
Сообщение24.09.2024, 19:14 
Заслуженный участник


13/12/05
4591
Да, с обобщением на многомерный случай плохо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в интеграле по области
Сообщение24.09.2024, 19:15 


21/12/16
721
Padawan в сообщении #1655934 писал(а):
Можно ещё попробовать аппроксимировать отображение кусочно-линейным

да и так еще что бы линейные куски на кирпичах действовали

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в интеграле по области
Сообщение25.09.2024, 12:29 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
Тут довольно симпатично, по-моему: Kowalski, Measure and integral, доказательство начинается внизу страницы, подписанной 122.

-- 25.09.2024, 13:58 --

При желании ещё можно не определять интеграл от функций, а сразу от дифференциальных форм, на основании двойственности Пуанкаре, тогда эта формула будет следствием линейной алгебры. Но будут другие сложности, конечно, например, надо будет отдельно продолжать интеграл с $C^\infty$ функций на более общие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в интеграле по области
Сообщение31.10.2024, 14:40 
Заслуженный участник


13/12/05
4591
В лекциях С. В. Шапошникова в НМУ есть то, что надо: https://old.mccme.ru/ium/f23/f23-Calculus3.html. В лекциях 2 и 3. Из продвинутого используется теорема Радона-Никодима и теорема о точках Лебега интегрируемой функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в интеграле по области
Сообщение31.10.2024, 14:46 


21/12/16
721
спасибо, посмотрю

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group