Рекурсия для суммы с факториалами

[kthxbye]

Пусть $a(n,m)$ - семейство целочисленных последовательностей, таких, что

$$ a(n, m) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{ (n + m k - 1)!\, (n - k) }{ k!\, (n + (m - 1) k)! }, \\ a(0, m) = 0. $$

Пусть задана рекурсия

$$ P_m(n,k) = \begin{cases} 1,&\text{если $n=0$;}\\ P_m(n-1,k),&\text{если $k \leqslant n$;}\\ P_m(n,k-1) + P_m(n-1,m+k-1),&\text{в противном случае.} \end{cases} $$

Прошу заметить, что данная рекурсия была получена экспериментальным путем, как частный случай более общей рекурсии (где вместо $m-1$ используется абсолютно любая функция со значением $f(k-n)$).

Я предполагаю, что

$$ P_m(n,n) = a(n,m). $$

Можно ли это как-то доказать?