2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Рекурсия для суммы с факториалами
Сообщение24.09.2024, 18:53 
Аватара пользователя
Пусть $a(n,m)$ - семейство целочисленных последовательностей, таких, что
$$
a(n, m) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{ (n + m k - 1)!\, (n - k) }{ k!\, (n + (m - 1) k)! }, \\
a(0, m) = 0.
$$
Пусть задана рекурсия
$$
P_m(n,k) = \begin{cases}
1,&\text{если $n=0$;}\\
P_m(n-1,k),&\text{если $k \leqslant n$;}\\
P_m(n,k-1) + P_m(n-1,m+k-1),&\text{в противном случае.}
\end{cases}
$$
Прошу заметить, что данная рекурсия была получена экспериментальным путем, как частный случай более общей рекурсии (где вместо $m-1$ используется абсолютно любая функция со значением $f(k-n)$).

Я предполагаю, что
$$
P_m(n,n) = a(n,m).
$$

Можно ли это как-то доказать?

 
 
 [ 1 сообщение ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group