Гармонический осциллятор и принцип наименьшего действия

[RobinGood]

Red_Herring в сообщении #1654825 писал(а):

Ну если вам хочется сравнивать себя с петухом, то, тогда, конечно.

Мы все как тот петух, только не все понимают

-- 16.09.2024, 07:25 --

realeugene
Вы нашли минимум?

[Theoristos]

amon в сообщении #1654812 писал(а):

Вот здесь
написан ответ для любого негладкого потенциала. Если что непонятно - спрашивайте.

Ой, даже не знаю с чего начать.

[*] Почему действие разбивается только на два слагаемых, а не на произвольное их количество? (при стремлении амплитуды к 0 частота переходов через ноль стремится к бесконечности)

[*] Откуда априори, до решения вариационной задачи, вылазит утверждение о сохранении энергии?

[realeugene]

Red_Herring в сообщении #1654825 писал(а):

Ох, вам уже предлагалось на выбор
1. пополнить в топологии
2. сгладить и перейти к пределу
3. вместо уравнений рассмотреть включения: $\frac{d p}{dt}\in - V'(x)$ где для $V(x)=\pm |x|$
$V'(x)=\left\{\begin{aligned} & \{\pm 1\} &&x>0,\\ & [-1,1] && x=0,\\ &\{\mp 1\} &&x<0,\end{aligned}\right.$
и вам все не нравится. Я вижу только один выход: в точке 0 повесить табличку $\framebox{\framebox{\text{будьте любезны, идите, пожалуйста в ректум }}}$ и на этом закончить дискуссию.

Ой, да я и не все слова тут понимаю. А из тех, которые понимаю, становится очевидно, что это всё для эстетов, а привычными путями такие потенциалы любить таки не получится.

-- 16.09.2024, 09:35 --

RobinGood в сообщении #1654832 писал(а):

Вы нашли минимум?

Исходя из моего интуитивного понимания все возможные решения есть решения гармонического осциллятора.

-- 16.09.2024, 09:55 --

Red_Herring в сообщении #1654825 писал(а):

2. сгладить и перейти к пределу

Особенность траектории $x(t)=0$, что каждая точка на ней фокальная, вылазит в пределе и при предложенном вами сглаживании параболами. Видимо, это не устранимо ничем.

[Утундрий]

RobinGood в сообщении #1654832 писал(а):

realeugene
Вы нашли минимум?

Корнеев, вы извлекли Тезис?!

[amon]

Theoristos в сообщении #1654847 писал(а):

[*] Откуда априори, до решения вариационной задачи, вылазит утверждение о сохранении энергии?

Утверждение о сохранении энергии "вылазит" из решения вариационной задачи со свободным пределом интегрирования. Как - читайте Смирнова "Общая форма первой вариации" (т. 4, часть 1 параграф 85 по изданию 1974 года).

Theoristos в сообщении #1654847 писал(а):

Почему действие разбивается только на два слагаемых

Вывод написан для одного пересечения. Если их несколько ничего не меняется. При каждом пересечении излома возникает условие сшивки ("сохранение энергии"). Конструктивно это означает, что при пересечении излома надо сшить координату и скорость для решения справа и слева. Еще вопросы?

-- 16.09.2024, 12:30 --

(Оффтоп)

Alex-Yu, Вы когда-то писали, что вариационное исчисление можно придумать самому или понять из Ландау-Лифшица. Вот мы на 11 страницах и видим результат такого понимания

[Red_Herring]

(Оффтоп)

amon в сообщении #1654880 писал(а):

Вы когда-то писали, что вариационное исчисление можно придумать самому или понять из Ландау-Лифшица. Вот мы на 11 страницах и видим результат такого понимания

Вообще-то вариацонных исчислений больше одного--разные задачи и разные методы, и разное определение того, что такое вариация. Например, задача о минимуме функции $|x|$ на $(-\infty,\infty$) или $x$ на $[0,1]$ тоже вариационная в определенном смысле. И если эти исчисления не разделять, то результат налицо. В любом случае "кто раньше с нею был, и тот, кто будет позже--пусть пробуют они, я лучше пережду".

[Ende]

RobinGood забанен как клон Sicker.

А вел бы себя как воспитанный человек, и никто бы не догадался, что это клон. Я ни на что не намекаю, конечно.

[realeugene]

amon
Если я нагуглил правильный учебник, его автор рассматривает функциию (лагранжиан), непрерывную до вторых производных. Как вы применяете его вариационное исчисление к негладким лагранжианам не очень понятно.

[drzewo]

(Оффтоп)

amon в сообщении #1654880 писал(а):

Alex-Yu, Вы когда-то писали, что вариационное исчисление можно придумать самому или понять из Ландау-Лифшица. Вот мы на 11 страницах и видим результат такого понимания

<<из Ландау-Лифшица>> -- это особенно забавно, с учетом того, что как раз в вариационном исчислении там ошибка в первом томе

[amon]

realeugene в сообщении #1654944 писал(а):

Как вы применяете его вариационное исчисление к негладким лагранжианам не очень понятно.

А как применяется принцип Ферма (тоже вариационный) для вывода отражения от зеркала и закона преломления Вам понятно? Надо разбить область интегрирования на области, где лажранжиан гладкий. В каждой из таких областей можно писать уравнения Эйлера. Граничная точка интегрирования (точка падения луча в случае оптики) остается неопределенной. Ее надо выбрать так, чтобы полное действие было стационарным. Как ее выбрать (как найти стационарную точку, если предел интегрирования можно менять) написано в учебнике. Это приводит к граничному условию на сшивку решений на границах областей, что в случае оптики дает законы отражения и преломления лучей, а в нашем случае - сохранение энергии.

[realeugene]

amon
Да, это всё очевидно. Единственное, если мы обращаемся к математическим учебникам, было бы здорово, если бы это всё было написано автором учебника и не требовало привлечения физического смысла.

Тем не менее, ваши рассуждения про сшивки траекторий очевидно не применимы к траекториям, на которых лагранжиан имеет разрывы производной всюду, и на которых каждая точка фокальная.

[amon]

realeugene в сообщении #1654967 писал(а):

Тем не менее, ваши рассуждения про сшивки траекторий очевидно не применимы к траекториям, на которых лагранжиан имеет разрывы производной всюду, и на которых каждая точка фокальная.

Я Вам давно предлагал рассмотреть лагранжиан
$L=\frac{\dot{x}^2+\dot{y}^2}{2}-|x|$
(две доски, сложенные "уголком", и маленький шарик, катающийся по ним) и, таки, применить эти "неприменимые" рассуждения к шарику, катающемуся по дну получившейся канавки.

[drzewo]

(Оффтоп)

Рассмотрим систему с лагранжианом

$$L(x,\dot x)=\frac{1}{2}|\dot x|^2-V(x),\quad x\in \mathbb{R}^m,\quad V\in C(\mathbb{R}^m),$$

где $|\cdot|$ -- стандартная евклидова норма в $\mathbb{R}^m$. Предположим, что потенциал $V$ ограничен сверху (это условие можно значительно ослабить):

$$\sup_{x\in\mathbb{R}^m} V(x)<\infty.$$

Теорема. Для любых $t_1<t_2$ функционал

$$x(\cdot)\mapsto \int_{t_1}^{t_2}L(x(t),\dot x(t))dt$$

достигает минимума в $H^1(t_1,t_2;\mathbb{R}^m)$.

[realeugene]

amon в сообщении #1654979 писал(а):

Я Вам давно предлагал рассмотреть лагранжиан
$L=\frac{\dot{x}^2+\dot{y}^2}{2}-|x|$
(две доски, сложенные "уголком", и маленький шарик, катающийся по ним) и, таки, применить эти "неприменимые" рассуждения к шарику, катающемуся по дну получившейся канавки.

Шарик и канавка - это не очень хороший пример потенциала модуля. При попытке запустить шарик сбоку он будет ударяться и терять энергию.

Ваш лагранжиан немедленно распадается в сумму лагранжианов двух независимых систем: $L=L_1+L_2$, где $L_1=\frac{\dot{x}^2}{2}-|x|$ и $L_2=\frac{\dot{y}^2}{2}$. Вторая система немедленно интегрируется, а первая - тот самый первоначальный негладкий лагранжиан с модулем для системы с одной степенью свободы. И как в нём из первых принципов получить траекторию $x(t)=0$? Зачем это вам было нужно я так и не понял.

А где можно прочитать про корректное применение принципа наименьшего действия к обычному гармоническому осциллятору? За границей полупериода по времени?

[drzewo]

Вот, кстати, хороший пример дифференциальных уравнений с разрывной правой частью из недавно обсуждавшейся ветки.
Берем физический маятник: тонкий массивный стержень одним своим концом закрепленный в идеальном шарнире. Вместо силы тяжести поместим эту конструкцию в однородный разряженный поток легких частиц, которые ударяют о стержень абсолютно упруго и не более одного раза. Скорость потока $\boldsymbol u$ и плотность потока $\rho$ не зависят от времени и точки плоскости.
Вариационного принципа там не наблюдается (хотя, судя по всему, фазовый поток непрерывно сопряжен потоку математического маятника), но решения прекрасно сшиваются.