2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнения Лагранжа со связями
Сообщение12.09.2024, 19:30 


21/12/16
680
Пусть у нас имеется система с лагранжианом
$L=L(x,\dot x)$, где $ x=(x^1,\ldots,x^m)^T$ -- локальные координаты на гладком многообразии $M;\quad \det L_{\dot x\dot x}\ne 0$. На систему наложены идеальные связи
$$\psi(x,\dot x)=0,\quad \psi=(\psi^1,\ldots,\psi^n)^T,\quad \mathrm{rang}\,\frac{\partial \psi}{\partial\dot x}=n<m.\qquad (1)$$
Как известно, такие системы описываются уравнениями Лагранжа со множителями
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x}-\frac{\partial L}{\partial  x}=\lambda \frac{\partial \psi}{\partial\dot x},\quad \lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n).\qquad (2)$$
Следующий вопрос, судя по всему, в учебники не попадал. Ответ я знаю, но может кому-то будет интересно продумать это самостоятельно. Задача не сложная.

Связи (1) определяют многообразие
$$W=\{(x,\dot x)\in TM\mid \psi(x,\dot x)=0\}.$$ Но это многообразие можно задать не только функциями $\psi$, но и какими-нибудь другими функциями. Это подобно тому как прямую $x=0$ на плоскости $xy$ можно задать еще и уравнением $e^x=1$.
Так вот, зависит ли динамика системы (1)-(2) от способа задания многообразия $W$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Лагранжа со связями
Сообщение12.09.2024, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12380
drzewo в сообщении #1654422 писал(а):
от способа задания многообразия
Какие из способов имеются в виду? Параметрический, алгебраический и канонический?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Лагранжа со связями
Сообщение12.09.2024, 19:49 


21/12/16
680
Утундрий в сообщении #1654425 писал(а):
Какие из способов имеются в виду? Параметрический, алгебраический и канонический?

мне не хотелось бы отвечать на ваш вопрос подробней, чем я уже написал:
drzewo в сообщении #1654422 писал(а):
Это подобно тому как прямую $x=0$ на плоскости $xy$ можно задать еще и уравнением $e^x=1$.

Не лишайте себя и других удовольствия продумать эти вопросы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group