Уравнения Лагранжа со связями

[drzewo]

Пусть у нас имеется система с лагранжианом
$L=L(x,\dot x)$, где $ x=(x^1,\ldots,x^m)^T$ -- локальные координаты на гладком многообразии $M;\quad \det L_{\dot x\dot x}\ne 0$. На систему наложены идеальные связи

$$\psi(x,\dot x)=0,\quad \psi=(\psi^1,\ldots,\psi^n)^T,\quad \mathrm{rang}\,\frac{\partial \psi}{\partial\dot x}=n<m.\qquad (1)$$

Как известно, такие системы описываются уравнениями Лагранжа со множителями

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x}-\frac{\partial L}{\partial x}=\lambda \frac{\partial \psi}{\partial\dot x},\quad \lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n).\qquad (2)$$

Следующий вопрос, судя по всему, в учебники не попадал. Ответ я знаю, но может кому-то будет интересно продумать это самостоятельно. Задача не сложная.

Связи (1) определяют многообразие

$$W=\{(x,\dot x)\in TM\mid \psi(x,\dot x)=0\}.$$

Но это многообразие можно задать не только функциями $\psi$, но и какими-нибудь другими функциями. Это подобно тому как прямую $x=0$ на плоскости $xy$ можно задать еще и уравнением $e^x=1$.
Так вот, зависит ли динамика системы (1)-(2) от способа задания многообразия $W$?

[Утундрий]

drzewo в сообщении #1654422 писал(а):

от способа задания многообразия

Какие из способов имеются в виду? Параметрический, алгебраический и канонический?

[drzewo]

Утундрий в сообщении #1654425 писал(а):

Какие из способов имеются в виду? Параметрический, алгебраический и канонический?

мне не хотелось бы отвечать на ваш вопрос подробней, чем я уже написал:

drzewo в сообщении #1654422 писал(а):

Это подобно тому как прямую $x=0$ на плоскости $xy$ можно задать еще и уравнением $e^x=1$.

Не лишайте себя и других удовольствия продумать эти вопросы.