Вероятности количества бросков кости с суммой очков больше 9

[sergey zhukov]

Yu_K
Для начала хорошо научиться находить число комбинаций, обеспечивающих сумму $M$ при бросании $N$ костей. Для монеты, например, это просто $C^M_N$ ("кость" с двумя исходами 0 и 1). Если кость имеет шесть исходов, то что-то формула мне в голову не пришла, но распределение числа комбинаций для каждой суммы можно получить так:

Берем такое распределение для двух бросков (для всех возможных сумм 2...12), записываем его шесть раз со сдвигом и суммируем "в столбик". Получаем распределение комбинаций для трех бросков и всех возможных сумм 3...18. Таким же образом можно действовать дальше, получая это распределение для любого числа бросков.

[Geen]

(Оффтоп)

sergey zhukov в сообщении #1653189 писал(а):

распределение числа комбинаций для каждой суммы можно получить так

Эх, не по фэншую... надо было с одного броска начинать....

[sergey zhukov]

Для $N=2$ нужно сложить число комбинаций, обеспечивающих сумму $M>9$ и разделить это на сумму числа комбинаций для всех сумм. Для $N=3$ логика такая же, но нужно внести поправку на то, что сумме комбинаций для $M>9$ лишний раз учтены и такие тройки, у которых два первых числа уже дают $M>9$. Их число было подсчитано выше, но тут его нужно умножить на 6, т.к. в сумме тройных комбинаций для $M>9$ такие "лишние" тройки посчитаны каждая по 6 раз. А вот из общего числа всех комбинаций для всех сумм (в знаменателе) как раз не нужно ничего вычитать.

[Евгений Машеров]

Я бы табличку нарисовал. Столбцы - № броска, строки, от 1 до 10 - набранное число очков (десятая - 10 и более). И по столбцам заполнял бы вероятности.

[Yadryara]

Ну я-то конечно свою тему вспомнил:

«Явные формулы для количества разбиений»

Но здесь не все эти формулы можно впрямую применить,— по той простой причине, что граней всего 6.

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1653266 писал(а):

Но здесь не все эти формулы можно впрямую применить — по той простой причине, что граней всего 6.

Поправил цитату. Посмотрел внимательнее: да в той теме есть и вариант с ограничением максимального слагаемого. Дальше разбираться пока не стал, пока покажу другой способ подсчёта.

Если сумма очей у нас 10, а бросков 5, то максимальное слагаемое равно 6, так что явная формула применима.

Yadryara в сообщении #1255419 писал(а):

$$\left[\frac{n^4 + 10n^3 + 10n^2 - 15(5+3(-1)^n)n}{2880}\right]$$

Подставив сюда $n=10$, получим 7 вариантов разбиения. Вот они:

5 broskov, summa = 10

11116    5
11125   20
11134   20
11224   30
11233   30
12223   20
22222    1
__________
       126

То есть всего 126 вариантов. И это же число sergey zhukov другим способом получил выше.

[sergey zhukov]

Да, похоже, что все так и есть. Если методом выше (как у меня на картинке) для каждого числа бросков $N$ подсчитать суммы для общего числа всех комбинаций $\sum\limits_{all}^{}(N)=6^N$ и суммы только для комбинаций, дающих больше 9 $\sum\limits_{>9}^{}(N)$, то получаем:

$\sum\limits_{all}^{}(2)=36$
$\sum\limits_{>9}^{}(2)=6$

$\sum\limits_{all}^{}(3)=216$
$\sum\limits_{>9}^{}(3)=135$

$\sum\limits_{all}^{}(4)=1296$
$\sum\limits_{>9}^{}(4)=1170$

$\sum\limits_{all}^{}(5)=7776$
$\sum\limits_{>9}^{}(5)=7650$

...

Тогда вероятность закончить на втором броске будет:

$$P(2)=\frac{\sum\limits_{>9}^{}(2)}{\sum\limits_{all}^{}(2)}$$

На третьем:

$$P(3)=\frac{\sum\limits_{>9}^{}(3)-6*\sum\limits_{>9}^{}(2)}{\sum\limits_{all}^{}(3)}$$

На четвертом:

$$P(4)=\frac{\sum\limits_{>9}^{}(4)-6*\sum\limits_{>9}^{}(3)}{\sum\limits_{all}^{}(4)}$$

И т.д.

[Yu_K]

sergey zhukov в сообщении #1653189 писал(а):

Yu_K
Для начала хорошо научиться находить число комбинаций, обеспечивающих сумму $M$ при бросании $N$ костей. Для монеты, например, это просто $C^M_N$ ("кость" с двумя исходами 0 и 1). Если кость имеет шесть исходов, то что-то формула мне в голову не пришла, но распределение числа комбинаций для каждой суммы можно получить так:

Берем такое распределение для двух бросков (для всех возможных сумм 2...12), записываем его шесть раз со сдвигом и суммируем "в столбик". Получаем распределение комбинаций для трех бросков и всех возможных сумм 3...18. Таким же образом можно действовать дальше, получая это распределение для любого числа бросков.

Да - тоже так посчитал в OpenOffice- фото не вставляется - что-то не то с размером - вот по ссылке можно открыть картинку Open office calculation

[Shadow]