2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вероятности количества бросков кости с суммой очков больше 9
Сообщение04.09.2024, 13:29 


02/11/08
1193
https://youtu.be/shqd4ubLBZE

Бросаем обычный кубик с гранями 1,2,3,4,5,6 и суммируем выпавшие значения до тех пор пока сумма не превысит 9. Найти вероятности количества бросков для каждого варианта из полной группы событий. То есть может всего быть 2 броска, 3, 4,..,10. Как это можно красиво объяснить школьникам?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности количества бросков кости с суммой очков больше 9
Сообщение04.09.2024, 13:33 


17/10/16
4758
Yu_K
Что объяснить? Условие или решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности количества бросков кости с суммой очков больше 9
Сообщение04.09.2024, 13:58 


02/11/08
1193
sergey zhukov
Условие понятно. Решение не очень понятно.
Простенький код Монте Карло
https://www.online-python.com/9ASMx54col
дает ответы

Результаты симуляции:
0: 0 (0.0000%)
1: 0 (0.0000%)
2: 27739 (27.7390%)
3: 46393 (46.3930%)
4: 20530 (20.5300%)
5: 4602 (4.6020%)
6: 689 (0.6890%)
7: 45 (0.0450%)
8: 2 (0.0020%)
9: 0 (0.0000%)
10: 0 (0.0000%)

а хотелось бы получить конечные формулы в ответе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности количества бросков кости с суммой очков больше 9
Сообщение04.09.2024, 14:11 


17/10/16
4758
Yu_K
Ну, например, рассмотрим случай "2 броска". Варианты "сумма >9" такие:
4+6
6+4
5+5
5+6
6+5
6+6
Шесть вариантов. А всего вариантов выпадения костей в двух бросках $6^2$. Значит, искомая вероятность в случае "2 броска" есть $\frac{6}{6^2}=0,166$. Что-то у вас многовато вышло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности количества бросков кости с суммой очков больше 9
Сообщение04.09.2024, 14:28 


02/11/08
1193
sergey zhukov
Это не верный подход - всего вариантов 36 и по вашей схеме будет 1/6.
Тут надо еще отброшенные хвосты учитывать - чтобы варианты количества бросков были равновесны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности количества бросков кости с суммой очков больше 9
Сообщение04.09.2024, 14:31 


17/10/16
4758
Yu_K
Тогда я не понял условия задачи, видимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности количества бросков кости с суммой очков больше 9
Сообщение04.09.2024, 14:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4984
Yu_K в сообщении #1653152 писал(а):
Это не верный подход - всего вариантов 36 и по вашей схеме будет 1/6.

И это значение $\dfrac{1}{6}$ совершенно верно.
Yu_K в сообщении #1653152 писал(а):
Тут надо еще отброшенные хвосты учитывать - чтобы варианты количества бросков были равновесны.

Чьи хвосты? Что значит "равновесны"? Выражайтесь яснее, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности количества бросков кости с суммой очков больше 9
Сообщение04.09.2024, 14:51 


17/10/16
4758
Я, кажется, понял, какая там может быть дальше трудность. Скажем, в случае "3 броска" все тройные комбинации, начинающиеся с двойных комбинаций, перечисленных выше, следует вычесть из общего числа всех возможных тройных комбинаций $6^3$, т.к. эти комбинации приведут к варианту окончания "2 броска" (соответственно, броски остановятся раньше). Поэтому вероятность для случая "3 броска" нужно подсчитывать, как "число комбинаций ровно из трех бросков, дающих в сумме >9" деленное не на $6^3$, а на $6^3-6$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности количества бросков кости с суммой очков больше 9
Сообщение04.09.2024, 15:01 


02/11/08
1193
Mihr
Речь о полной группе вероятностей Р(2),Р(3),...,P(10). Если считать вероятности по схеме - количество благоприятных из 2 делить на 36, количество благоприятных из 3 делить на 216, и так до 10
- то это не совсем верно - надо исключать повторы - использовать что-то типа формулы включений-исключений. Так из расчета вероятности P(4) надо убрать те варианты которые закончились раньше при n=2, n=3. По сравнению с 10 бросками - их 6^10 - а для двух бросков вариантов всего 6^2 и вместе мешать эти вероятности вроде не очень правильно - разные "весовые категории".
Может я ошибаюсь.

Ссылка на код Монте Карло есть выше - вроде там все корректно и прозрачно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности количества бросков кости с суммой очков больше 9
Сообщение04.09.2024, 15:05 


17/10/16
4758
Yu_K в сообщении #1653159 писал(а):
которые закончились раньше при n=2, n=3

Ну и вычтите их. Вы же их уже подсчитали на предыдущих шагах. Вот я, скажем, в случае $P(3)$ и вычел $6^3-6$. Т.е. в знаменателе должно стоять $6^n-N(n-1)-N(n-2)-...N(2)$, где $N(x)$ - число комбинаций для случая $x$ бросков, которые мы уже вычислили на предыдущих этапах.

Для случая "2 броска" как раз можно подсчитать максимально просто, поскольку за один бросок больше девяти никак не выбросишь.

-- 04.09.2024, 16:21 --

Yu_K в сообщении #1653159 писал(а):
Ссылка на код Монте Карло

Не знаю. Я вот в экселе для "2 броска" получил $\frac{1}{6}$ легко.
Вообще, у меня получилось:
2 - 0,16
3 - 0,45
4 - 0,28
5 - 0,079
6 - 0,0135
7 - 0,00238

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности количества бросков кости с суммой очков больше 9
Сообщение04.09.2024, 15:29 
Аватара пользователя


29/04/13
8037
Богородский
Yu_K в сообщении #1653159 писал(а):
Ссылка на код Монте Карло есть выше - вроде там все корректно и прозрачно.

Нет, там ошибка: счёт идёт с суммы равной 9-ти, а не 10-ти, как в условии, потому и получается для 2-х бросков не 6 благоприятных исходов, а 10.

Результаты симуляции:
0: 0 (0.0000%)
1: 0 (0.0000%)
2: 16543 (16.5430%)
3: 46050 (46.0500%)
4: 27816 (27.8160%)
5: 7983 (7.9830%)
6: 1422 (1.4220%)
7: 179 (0.1790%)
8: 7 (0.0070%)
9: 0 (0.0000%)
10: 0 (0.0000%)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности количества бросков кости с суммой очков больше 9
Сообщение04.09.2024, 15:46 


02/11/08
1193
Yadryara , sergey zhukov
Спасибо большое - дальше попробую разобраться насчет явных формул.

Точные вроде такие получаются значения вероятностей Wolframalpha

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности количества бросков кости с суммой очков больше 9
Сообщение04.09.2024, 16:59 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Про эту задачу можно ещё думать так. Дано вероятностное пространство $\{1, \ldots, 6\}^9$ (вообще хоть $\{1, \ldots, 6\}^\infty$, но школьникам про это знать не надо, а больше 9 бросков и не понадобится). На нём равномерное распределение, это просто все последовательности бросков с вероятностью $\frac 1{6^9}$ каждое. Нас интересует, с какой вероятностью сумма $\geq 9$ наберётся за первые $k$ бросков, ну и дальше понятно какая комбинаторика.

В условии, конечно, чуть другое вероятностное пространство, полученное из $\{1, \ldots, 6\}^9$ склейкой событий, у которых общий префикс с суммой $\geq 9$. Но на нём уже не равномерное распределение, и элементарные события так просто не перечислить. А так как это фактор-пространство $\{1, \ldots, 6\}^9$, можно работать с пространством всех последовательностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности количества бросков кости с суммой очков больше 9
Сообщение04.09.2024, 18:19 
Аватара пользователя


29/04/13
8037
Богородский
Да вы сговорились что ли? И в названии темы ведь внятно написано что сумма больше 9-ти.

dgwuqtj в сообщении #1653178 писал(а):
а больше 9 бросков и не понадобится

Может и 10 понадобится.

dgwuqtj в сообщении #1653178 писал(а):
какой вероятностью сумма $\geq 9$ наберётся

Откуда взялось больше или равно ?? Причём раз за разом повторяете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности количества бросков кости с суммой очков больше 9
Сообщение04.09.2024, 18:23 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Это я читать не умею, извините.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group