Интервал сходимости степенного ряда

[Жек@]

Объясните,пожалуйста,как решить пример.
Найти интервал сходимости степенного ряда

\[ \sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n } x^n \]

.Исследовать сходимость ряда на концах интервала.[/math]

[Alexiii]

Это не пример,а теория!
Можно найти в любом учебнике по мат.анализу в разделе степенных рядов!

[Жек@]

Я забыла сам пример написать)))

\[ \frac{{(2n)!}} {{n^n }} \]

Вот он)

Добавлено спустя 21 минуту 35 секунд:

Я так поняла,что сначала необходимо найти радиус сходимости по формуле

\[ R = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{a_n }} {{a_{n + 1} }}} \right| \]

Но у меня не получается его найти(:

\[ R = \frac{{(2n)!}} {{n^n }} \div \frac{{2(n + 1)!}} {{n^n }} = \frac{{(2n)! \times n^{n + 1} }} {{n^n \times 2(n + 1)!}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{?} {?} \]

А что дальше писать?

Добавлено спустя 1 минуту 21 секунду:

И что означает восклицательный знак?

[Cobert]

Логично предположить, что если в числителе и знаменателе стоят константы типа "?", то они взаимно уничтожаются, в результате получим ответ: R=1.

А восклицательный знак после выражения означает, что в ходе решения нужно произносить выражения в слух и громко. Чтобы придать уверенности себе, таким образом эффективнее и быстрее решить уравнение.

Добавлено спустя 3 минуты 9 секунд:

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1% ... 0%BB%D1%8F

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0% ... 0%B0%D0%BB

[ewert]

Жек@ писал(а):

:lol: Я забыла сам пример написать)))

\[ \frac{{(2n)!}} {{n^n }} \]

Вот он)
. . . . . . . . . .
И что означает восклицательный знак?

Открою страшную тайну: восклицательный знак -- это знак факториала.

А "исследовать сходимость на концах интервала" заведомо не выйдет, ибо нет никакого интервала -- радиус сходимости равен нулю. Что-то Вы в условии явно напутали.

[Жек@]

\[ \frac{{(2n)!}} {{n^n }}x^n \]

Добавлено спустя 14 минут 29 секунд:

У меня получилось,что

\[ R = 1 \]

,а интервал сходимости

\[ - 1 < x < 1 \]

.
Правильно?

[ewert]

неправильно. Радиус сходимости равен нулю.

[Жек@]

Почему?(

в пределе же получается

\[ \frac{\infty } {\infty } \]

?

[ewert]

Вот и раскрывайте эту неопределённость. Только для приличия сначала исправьте числитель (хотя на ответе это и не скажется).

[Жек@]

Не поняла где исправить

[ewert]

Вы неаккуратно заменили эн на эн плюс один.

[Жек@]

значит

\[ R = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{(2n)!(n + 1)^{n + 1} }} {{(n + 1)^{n + 1} (2(n + 1))!}} \]

?
А

\[ \frac{\infty } {\infty } = 0 \]

?

[ewert]

ну, на этот раз Вы круто перестарались с подстановкой.

А когда исправите -- всё, что от Вас потребуется: умение сокращать факториалы и знание определения числа "е".

[Жек@]

\[ R = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{(2n)!(n + 1)^{n + 1} }} {{n^n (2(n + 1))!}} \]

Вот так?)

[id]

Жек@
Ага. Теперь тот нижний факториал перепишете в виде $(2n+2)!$, и выразите это через $(2n)!$, чтобы $(2n)!$ сократилось. Воспользуйтесь определением факториала.