Интервал сходимости степенного ряда

[Жек@]

Вы не могли бы мне написать ссылку,где можно было бы про факториалы почитать?

[id]

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB

[Жек@]

А как можно факториал

\[ (2n + 2)! \]

выразить через

\[ (2n)! \]

?

[id]

По определению. $(2n+2)! = ((2n+1)!)*(2n+2)$ и аналогично.

[Жек@]

Значит получается так :

\[ (2n + 2)! = (2n)!(2n + 2)(2n + 1) \]

?

[id]

Жек@
Да.

[Жек@]

Все равно я не понимаю почему

\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{(n + 1)^{n + 1} }} {{n^n (4n^2 + 6n + 2)}} = 0 \]

!(

[Brukvalub]

Из-за определения числа "е".

[id]

Вы зря раскрыли скобки снизу.
$\frac {(n+1)^{n+1}} {{n^n}(2n+1)2(n+1)} = \frac {(n+1) (n+1)^{n}} {{n^n}(2n+1)2(n+1)} = \frac {(n+1)^n} {{n^n}(2n+1)2} = \frac {(1+\frac 1 n)^n} {(2n+1)2}$

[Жек@]

Спасибо! А что это за определение числа "е"? Тут же его совсем нет?

[ewert]

А ещё лучше привыкнуть действовать в таких случаях грубее. Ну раскрыли -- и раскрыли, с кем не случается:

$$ \frac{(n + 1)^{n + 1}}{n^n (4n^2 + 6n + 2)}= \frac{(n + 1)^n}{n^n}\cdot \frac{n + 1}{4n^2 + 6n + 2}\sim \left(\frac{n + 1}{n}\right)^n\cdot \frac{1}{4n}$$

[id]

http://ru.wikipedia.org/wiki/E_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%B0)

[Жек@]

Ага! И тогда получается:

\[ e\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1} {{(2n + 1)2}} = 0 \]

?

[Brukvalub]

Да.

[Жек@]

Ура!!! Спасибо)

Добавлено спустя 1 минуту 11 секунд:

Скажите пожалуйста,в примере

\[ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1} {{(n + 2)\ln (n + 2)}}} x^n \]

радиус сходимости равен

\[ \infty \]

?