Решение задачи,Ландау Том1

[Valentin19]

Добрый день, не сходится ответ. Кто может помочь решить задачу №3 из Теоретической физики, том 1. стр.23 .
Плоский маятник, точка подвеса которого:
а) равномерно движется по вертикальной окружности с постоянной частотой у (рис. 3);
б) совершает горизонтальные колебания по закону a*сos(yt)
в)совершает вертикальные колебания по закону a*cos(yt).
https://djvu.online/file/GDSi0X2dU9HCn

[Dedekind]

Valentin19
Если что, вот тут есть решения большинства задач https://eanbur.unatlib.ru/web/viewer.ht ... A%D0%B0%22

[drzewo]

Про то, что лагранжиан определен с точностью до добавления полной производной по времени знаем?
Тут больше не в чем путаться $T=\frac{1}{2}m(\dot x^2+\dot y^2);\quad V=-mgy$

[Valentin19]

drzewo в сообщении #1652778 писал(а):

Про то, что лагранжиан определен с точностью до добавления полной производной по времени знаем?
Тут больше не в чем путаться $T=\frac{1}{2}m(\dot x^2+\dot y^2);\quad V=-mgy$

Вот именно у меня и получается, что
$x = acos(\gamma t) + lsin(\phi)$
$y = -asin(\gamma t) + lcos(\phi)$
$\dot x^2+\dot y^2 = a^2 \gamma^2 + l^2 \dot \phi^2 + 2al\gamma\dot\phi(sin(\phi-\gamma t)) $

$T=\frac{1}{2}m(a^2 \gamma^2 + l^2 \dot \phi^2 + 2al\gamma\dot\phi(sin(\phi-\gamma t)))$
$V=-mgy = - mg(-asin(\gamma t) + lcos(\phi))$

$L = \frac{1}{2}m a^2 \gamma^2 + \frac{1}{2}ml^2 \dot \phi^2 + m al\gamma\dot\phi(sin(\phi-\gamma t)) - mg asin(\gamma t) +mg lcos(\phi)) $

У Ландау получается
$L = \frac{1}{2}ml^2 \dot \phi^2 + m al\gamma^2\dot\phi(sin(\phi-\gamma t)) +mg lcos(\phi)) $

И вот я ломаю голову, почему у меня не сходится.

[drzewo]

и что у нас там с полной производной c точностью до которой определен лагранжиан?
запишите этот факт в общем виде сперва в виде теоремы

[Cos(x-pi/2)]

Valentin19, наряду с тем, что, как Вам говорит drzewo, в $L$ можно выделить и исключить слагаемые, представимые в виде полных производных по времени, Вы, возможно, не замечаете, что у Ландау получается не то, что Вы написали после слов "у Ландау получается":

у Ландау во втором слагаемом в $L$ нет сомножителя $\dot{\phi}.$ (С учетом всего этого, ваш ответ приводится к тому же выражению, что у Ландау.)

[Valentin19]

Cos(x-pi/2)
Спасибо, что подправили. Если вам не сложно не могли бы вы подсказать и указать слагаемые представлимые в виде полных производных. Я просто не совсем понимаю как их опреледять.

[Утундрий]

Valentin19 в сообщении #1652841 писал(а):

не совсем понимаю как их опреледять

Дэ по дэ-тэ от чегото-там.

[Cos(x-pi/2)]

Valentin19
Подсказать-то могу, но на это надо получить разрешение уважаемого drzewo - он ваш первый Учитель в данной форумной теме. (А я встрял только чтобы отметить необходимость поправки в неточно перепечатанной Вами формуле из учебника).

Давайте пока ограничимся самой бросающейся в глаза подсказкой. В вашем ответе для $L$ первое слагаемое это ведь составленная из параметров задачи константа. И Вы наверняка знаете, что $\operatorname{const}$ это то же самое, что производная по $t$ от $t\cdot\operatorname{const}.$ Значит, эту константу можно исключить из $L.$ Следующая очевидная подсказка (но ею дело ещё не заканчивается): посмотрите на четвёртое слагаемое в вашем ответе - не производная ли это от ... ? :-)

[drzewo]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1652849 писал(а):

разрешение уважаемого drzewo

даже не знаю, что сказать. Я из ветки ушел если что

[Valentin19]

Cos(x-pi/2)
$-mgasin(\gamma*t)=\frac{d}{dt}(\frac {mgacos(\gamma*t)} {\gamma}) $
Это явно функция только от времени, но если убрать то все равно ответ не сходится, так как у меня остаётся $\dot\phi$, а в ответе к тому же ещё $\gamma^2$

[Ende]

Valentin19
Ставьте знак \ перед тригонометрическими функциями. Правильно: \cos x - $\cos x$. Неправильно - cos x - $cos x$

[Cos(x-pi/2)]

Valentin19
Ну хорошо (вернее, это плохо), поскольку не возражают ни уважаемый модератор, ни указавший на основную для вашей проблемы идею уважаемый drzewo, то вот последняя подсказка (было бы хорошо, если бы Вы сумели сами себе её подсказать):

Записываете полную производную по времени для функции $\cos(\phi-\gamma t):$

$$\frac{d}{dt}\cos(\phi-\gamma t)=-(\dot{\phi}-\gamma)\sin(\phi-\gamma t)$$

Из этого равенства выражаете не нравящееся Вам слагаемое с множителем $\dot{\phi}$ через желаемое Вами слагаемое с множителем $\gamma:$

$$\dot{\phi}\sin(\phi-\gamma t) = \gamma \sin(\phi-\gamma t)-\frac{d}{dt}\cos(\phi-\gamma t)$$

После подстановки в ваше выражение для $L$ отбрасываете появившееся здесь слагаемое, имеющее вид производной, и в итоге убеждаетесь, что получается ответ из книги.

[Valentin19]

Cos(x-pi/2)
Наконец-то до меня дошло. Спасибо Вам большое!