Разбить 2^N на 2-элементные множества

[Zeddikus]

Можно ли $2^\mathbb{N}$ разбить на 2-элементные множества так, чтобы из любых двух таких множеств можно было взять по одному элементу, пересечение которых пусто?
Для 3-элементных очевидно: каждое множество содержит множество из чётных чисел, из нечётных и из тех и других.

[waxtep]

Честно говоря, условие задачи непонятно. Можете проиллюстрировать разбиение на 2-элементные и 3-элементные множества для $2^3=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$?

[waxtep]

waxtep в сообщении #1652709 писал(а):

Можете проиллюстрировать разбиение на 2-элементные и 3-элементные множества для $2^3=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$?

Попробую ответить сам себе, вроде понял, что имеется в виду. Множество из $8$ элементов $2^3$ можно разбить на $4$ двухэлементных непересекающихся подмножества, например, так: $\{\varnothing,\{1,2,3\}\}$ и ещё три подмножества вида $\{a,\{b,c\}\}$, где $a\neq b\neq c$. Ну и из первого из этих подмножеств всегда выбираем пустое, а из трех остальных - по одноэлементному; попарные пересечения выбранных множеств пусты, как и требовалось. К ответу на исходный вопрос про $2^{\mathbb{N}}$ это не приближает, но, кажется, позволяет (мне) понять условие

-- 02.09.2024, 11:38 --

Ага, и типа разбиение на трехэлементные множества $\{A,B,C\}$ строится так: $A$ - какое-нибудь (пустое, конечное, бесконечное) множество четных чисел, $B$ - аналогично для нечетных, $C=A\bigcup B$; перебрав все возможные $A,B$ получим требуемое разбиение $2^{\mathbb{N}}$. "Ишь ты, Масленица"

-- 02.09.2024, 11:45 --

Только с пустыми тут надо как-то поаккуратнее, $\{\varnothing, B,B\}=\{\varnothing,B\}$ не будет трехэлементным и т.п.

-- 02.09.2024, 12:11 --

Короче, мне кажется, ответ "нельзя". Вот, пусть мы выбрали какое-то одно двуэлементное множество $\{A,B\}$; тогда все другие должны иметь вид $\{C\subset{\mathbb{N}\setminus\! A},X\}$ или $\{D\subset{\mathbb{N}\setminus\! B},Y\}$. А куда же мы денем множества $\{C\not\subset{\mathbb{N}\setminus \!A},D\not\subset{\mathbb{N}\setminus \!B}\}$?

[waxtep]

waxtep в сообщении #1652752 писал(а):

А куда же мы денем множества $\{C\not\subset{\mathbb{N}\setminus \!A},D\not\subset{\mathbb{N}\setminus \!B}\}$

А или типа, если в разбиении используется какое-то $\{A,B\}$, то вот такие уже в разбиение входить не должны. Ох, сложно. Все равно кажется, что нельзя, но пока не возьмусь доказать

[waxtep]

Не, на самом деле, уже для $H=2^4$ не получится разбить на двуэлементные. "Легко видеть", что разбиения-кандидаты могут иметь только вид $\{A,H\setminus\!A\}$, но множества $\{\{1,2\},\{3,4\}\},\{\{1,3\},\{2,4\}\},\{\{1,4\},\{2,3\}\}$ условию не удовлетворяют