2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разбить 2^N на 2-элементные множества
Сообщение27.08.2024, 12:56 


20/04/15
20
Можно ли $2^\mathbb{N}$ разбить на 2-элементные множества так, чтобы из любых двух таких множеств можно было взять по одному элементу, пересечение которых пусто?
Для 3-элементных очевидно: каждое множество содержит множество из чётных чисел, из нечётных и из тех и других.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбить 2^N на 2-элементные множества
Сообщение01.09.2024, 22:21 
Аватара пользователя


07/01/16
1603
Аязьма
Честно говоря, условие задачи непонятно. Можете проиллюстрировать разбиение на 2-элементные и 3-элементные множества для $2^3=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбить 2^N на 2-элементные множества
Сообщение02.09.2024, 11:25 
Аватара пользователя


07/01/16
1603
Аязьма
waxtep в сообщении #1652709 писал(а):
Можете проиллюстрировать разбиение на 2-элементные и 3-элементные множества для $2^3=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$?
Попробую ответить сам себе, вроде понял, что имеется в виду. Множество из $8$ элементов $2^3$ можно разбить на $4$ двухэлементных непересекающихся подмножества, например, так: $\{\varnothing,\{1,2,3\}\}$ и ещё три подмножества вида $\{a,\{b,c\}\}$, где $a\neq b\neq c$. Ну и из первого из этих подмножеств всегда выбираем пустое, а из трех остальных - по одноэлементному; попарные пересечения выбранных множеств пусты, как и требовалось. К ответу на исходный вопрос про $2^{\mathbb{N}}$ это не приближает, но, кажется, позволяет (мне) понять условие

-- 02.09.2024, 11:38 --

Ага, и типа разбиение на трехэлементные множества $\{A,B,C\}$ строится так: $A$ - какое-нибудь (пустое, конечное, бесконечное) множество четных чисел, $B$ - аналогично для нечетных, $C=A\bigcup B$; перебрав все возможные $A,B$ получим требуемое разбиение $2^{\mathbb{N}}$. "Ишь ты, Масленица" :-)

-- 02.09.2024, 11:45 --

Только с пустыми тут надо как-то поаккуратнее, $\{\varnothing, B,B\}=\{\varnothing,B\}$ не будет трехэлементным и т.п.

-- 02.09.2024, 12:11 --

Короче, мне кажется, ответ "нельзя". Вот, пусть мы выбрали какое-то одно двуэлементное множество $\{A,B\}$; тогда все другие должны иметь вид $\{C\subset{\mathbb{N}\setminus\! A},X\}$ или $\{D\subset{\mathbb{N}\setminus\! B},Y\}$. А куда же мы денем множества $\{C\not\subset{\mathbb{N}\setminus \!A},D\not\subset{\mathbb{N}\setminus \!B}\}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбить 2^N на 2-элементные множества
Сообщение02.09.2024, 12:26 
Аватара пользователя


07/01/16
1603
Аязьма
waxtep в сообщении #1652752 писал(а):
А куда же мы денем множества $\{C\not\subset{\mathbb{N}\setminus \!A},D\not\subset{\mathbb{N}\setminus \!B}\}$
А или типа, если в разбиении используется какое-то $\{A,B\}$, то вот такие уже в разбиение входить не должны. Ох, сложно. Все равно кажется, что нельзя, но пока не возьмусь доказать

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбить 2^N на 2-элементные множества
Сообщение02.09.2024, 18:33 
Аватара пользователя


07/01/16
1603
Аязьма
Не, на самом деле, уже для $H=2^4$ не получится разбить на двуэлементные. "Легко видеть", что разбиения-кандидаты могут иметь только вид $\{A,H\setminus\!A\}$, но множества $\{\{1,2\},\{3,4\}\},\{\{1,3\},\{2,4\}\},\{\{1,4\},\{2,3\}\}$ условию не удовлетворяют

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group