Пульсирующая Вселенная

[piksel]

realeugene в сообщении #1652638 писал(а):

Производные частные?

Поскольку t и r независимые переменные, то частные производные совпадают с полными.

realeugene в сообщении #1652638 писал(а):

Это стандартный пакет Максимы?

Да, к нему можно скачать описание. Блок ctensor в нем, кажется, писал Виктор Тоц.

realeugene в сообщении #1652638 писал(а):

piksel в сообщении #1652632 писал(а):

$ds^2=[1-M(t,r)/r]c^2dt^2-[1-M(t,r)/r]^{-1}dr^2+d\theta ^2+\sin(\theta )^2 d\phi^2,$

Но эта метрика неправильная и в случае слабой гравитации. В вакууме внутри сферически симметричной материальной оболочки, если есть центральная гравитирующая масса, получается тоже Шварцшильд, но у него скорость хода глобального времени (на бесконечности) замедлена с учётом гравитационного потенциала внешних оболочек. В (100.11) ЛЛ2 обнуление $f(t)$ для внутреннего Шварцшильда означает коррекцию его глобального времени по отношению к внешнему Шварцшильду. А в этой метрике присутствует та же школьная ошибка: гравитационный потенциал внешних оболочек обнулён внутри этих оболочек.

Может быть, эта метрика нарушает какие-либо требования симметрии символов Кристоффеля, например?

При приближении к r функция M должна быть малой величиной порядка не ниже r, поэтому экспонентой от r она быть не может.
Кроме этого условия в самой метрике математически ничего ошибочного нет. Она рассмотрена, например, у Толмена в п.98. Но ее физическая интерпретация вызывает затруднения.

[realeugene]

piksel в сообщении #1652673 писал(а):

Да, к нему можно скачать описание. Блок ctensor в нем, кажется, писал Виктор Тоц.

Я же не отошник, я не знаю, кто это. Но Максима на компе есть. Если код не слишком длинный - было бы здорово, если бы вы его привели, в качестве примера.

piksel в сообщении #1652673 писал(а):

При приближении к r функция M должна быть малой величиной порядка не ниже r, поэтому экспонентой от r она быть не может.

Не понял это замечание.

piksel в сообщении #1652673 писал(а):

Кроме этого условия в самой метрике математически ничего ошибочного нет. Она рассмотрена, например, у Толмена в п.98. Но ее физическая интерпретация вызывает затруднения.

Уверены? Даже в слабом поле в ней есть антигравитация из-за ошибки с обнулением гравитационного потенциала. А плотность материи выглядит вполне обычно. Неувязочка.

Нужно посмотреть, как эта метрика выглядит в обозначениях параграфа 100 из ЛЛ2, и где сломается условие непрерывности гравитационного потенциала на тонкой массивной оболочке.

-- 01.09.2024, 16:10 --

piksel в сообщении #1652673 писал(а):

При приближении к r функция M должна быть малой величиной порядка не ниже r, поэтому экспонентой от r она быть не может.

А, понял.

Что мешает рассмотреть эту метрику при больших $r$? Да и в параграфе 100 ЛЛ2 могут быть произвольные функции, там просто прологарифмирована метрика. Но выведены уравнения для этих прологарифмированных функций метрики. Которые эта метрика, вероятно, нарушит. А не должна: метрика центральносимметрична и, возможно, нестационарна, в точности, как предполагается в этом параграфе ЛЛ2. А если не нарушит - то любопытно, почему? В общем, нужно считать, и Максима тут бы сильно помогла.

-- 01.09.2024, 16:27 --

piksel в сообщении #1652632 писал(а):

$ds^2=[1-M(t,r)/r]c^2dt^2-[1-M(t,r)/r]^{-1}dr^2+d\theta ^2+\sin(\theta )^2 d\phi^2,$

Кстати, угловые координаты не умножаются на радиус. Это правильно?

[Geen]

realeugene в сообщении #1652681 писал(а):

в качестве примера

Смотрите хелп на ctensor...

[piksel]

realeugene в сообщении #1652681 писал(а):

piksel в сообщении #1652673 писал(а):

Кроме этого условия в самой метрике математически ничего ошибочного нет. Она рассмотрена, например, у Толмена в п.98. Но ее физическая интерпретация вызывает затруднения.

Уверены? Даже в слабом поле в ней есть антигравитация из-за ошибки с обнулением гравитационного потенциала. А плотность материи выглядит вполне обычно. Неувязочка.

Из этой метрики неизвестно как получить плотность материи в собственной системе отсчета, поскольку существует ненулевой $G_{tr}$ и поэтому $T_{tt}=G_{tt}$ таковой не является.

realeugene в сообщении #1652681 писал(а):

piksel в сообщении #1652632 писал(а):

$ds^2=[1-M(t,r)/r]c^2dt^2-[1-M(t,r)/r]^{-1}dr^2+d\theta ^2+\sin(\theta )^2 d\phi^2,$

Кстати, угловые координаты не умножаются на радиус. Это правильно?

В метрике Шварцшильда в сферических координатах это правильно. В метрике в прямоугольных координатах умножаются.
Все-таки приведу листинг для Максимы. Он сделан на основе примера, который я где-то скачал:


if get('ctensor,'version)=false then load(ctensor);


("Prove that the Schwarzschild line element is of an empty metric")$


("The dimension of the manifold")$


dim:4;


("The coordinate labels")$


ct_coords:[x,y,z,t];


depends([p],[t,x]);

("Rational simplification of geometrical objects")$


(ratwtlvl:false,ratfac:true);


("Here is the Schwarzschild metric in standard coordinates:")$



lg:matrix([1/(-1+p/x),0,0,0],[0,-x^2,0,0],


[0,0,-x^2*sin(y)^2,0],[0,0,0,1-p/x]);


("Compute metric inverse and determine diagonality")$


fri:cmetric(false);


("Compute and display mixed Christoffel symbols")$


christof(mcs);


("Computes scalar curvature")$


scurvature();


ricci(true);

leinstein(true);
einstein(true);

ug[1,1];ug[1,2];ug[1,3];ug[1,4];
ug[2,1];ug[2,2];ug[2,3];ug[2,4];
ug[3,1];ug[3,2];ug[3,3];ug[3,4];
ug[4,1];ug[4,2];ug[4,3];ug[4,4];


rat(ein[1,1]*ug[1,1]+ein[4,1]*ug[1,4]);
rat(ein[1,4]*ug[1,1]+ein[4,4]*ug[1,4]);
rat(ein[2,2]*ug[2,2]);
rat(ein[3,3]*ug[3,3]);
rat(ein[1,1]*ug[4,1]+ein[4,1]*ug[4,4]);
rat(ein[4,4]*ug[4,4]+ein[1,4]*ug[1,4]);


Внизу вычисляются дополнительно контравариантные метрический тензор и тензор Эйнштейна.

Можете попробовать другие варианты.

[Nick Gorkavyi]

sergey zhukov в сообщении #1652538 писал(а):

Т.е. при строгой симметрии ничего интересного из точного уравнения не получается, а вот из приближеного уравнения (записанного, между прочим, так же для случая строгой симметрии) - уже получается. Как же так? А у нас же квази-симметричная система вместо строго симметричной, на этом все и держится.

Не надо смотреть на физические системы сухими глазами математика. Вот у нас есть система А: сферически-симметричный газовый объект со сферически-симметричными пульсациями. Никаких неоднородностей, никаких гравитационных волн. За пределами системы - стационарное поле. А есть система Б, которая, если взять вполне реалистичную модель Вселенной, состоит из $10^{20}$ черных дыр звездных масс, которые могут сливаться, генерировать гравитационные волны и т.д. В системе А теорема Биркгофа работает, а в системе Б (вполне реалистичной, как я уже сказал) - очевидно, нет. ЭТО КАРДИНАЛЬНО РАЗНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ: и из-за гравитационных волн, и из-за неоднородностей в виде черных дыр. Уравнение Эйнштейна, которое описывает систему А - вакуумное, без правой части, а систему Б - неоднородное, с источниками поля. Теперь, я решил поработать с системой Б. Какой смысл мне учитывать неоднородности порядка $10^{-20}$? Никакого. Поэтому я записываю уравнение для сферически симметричного облака черных дыр, и у меня получается сферически-симметричная метрика, но которая имеет эту симметрию на ПРАКТИЧЕСКОМ уровне приближения. Теорема Биркгофа все равно абсолютно неприменима к случаю системы Б.

sergey zhukov в сообщении #1652538 писал(а):

Если наложить друг на друга множество поперечных гравитационных волн, то, наверное, как-то из всего этого в сумме и получаются продольные монопольные волны (они же нелинейно складываются). И как же они выглядят? Да вот просто нужно вместо $M$ подставить $M(r,t)$.

Т.е. важное условие квази-симметрии используется, как "теорема Биркгофа не работает, а значит можно записать в качестве решения то, что мы хотим".

Никакой монопольной волны при наложении множества поперечных волн не получится. И не о какой ручной подстановке переменной массы в уравнения речи нет, речь идет о строгом решении уравнений Эйнштейна. Я это раз пять показал, но ниже покажу еще раз. Но пожалуй, в последний.

manul91 в сообщении #1652541 писал(а):

Но ваша метрика с $M(r,t)$ подставленном в шварцшильде - все же совершенно центрально симметрична, а не КВАЗИ-симметрична что бы это не означало (так как $g_{ik}=0$ для $i \neq k$, и при $t=\text{const}$ все $g_{ii}$ зависят только от $r$).
Единственное отличие от Шварцшильда - это зависимость коеффициентов от $t$ - но это делает метрику разве что нестатичной, сохраняя по-прежнему идеальную центральную пространственную симметрию при любом $t$.
Зафиксируйте $r=R$ ($R$ большое, далеко от центра) чтобы изследовать вашу метрику в малой удаленной окрестности.
Вы увидите, что никакими гравитационнами волнами (наподобие (1)) в этой окрестности и не пахнет - будет монотонно меняющаяся (по мере изменения $t$) локальная метрика в данной окрестности (исходя из вашего исходного допущения что величина $M(r,t)$ уменьшается монотонно по $t$).

Вопрос о навязшей в зубах теореме Биркгофа, которую народ терпеливо жует который раз, я раскрыл максимально детально выше. Насчет медленно меняющейся метрики - вы просто не понимаете, что такое монопольная гравитационная волна. Это и есть плавно меняющаяся метрика, которая совершенно не похожа на поперечные волны.

Для всех желающих: я советую вам не слушать меня и прочих местных "экспертов", а самим посмотреть и поработать с решением волнового уравнения:
$(\nabla^2-\frac{\partial^2}{c^2dt^2})h_{\mu\nu}=-\frac{16 \pi G}{c^4}(T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}T_\lambda^\lambda)$ (1)
в виде запаздывающего потенциала:
$h_{\mu\nu}(t,r)=\frac{4G}{c^4}\int\frac{S_{\mu\nu}(r_0, t-\frac{r-r_0}{c})}{r-r_0}dV$ (2)
где $S_{\mu\nu}=T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}T_\lambda^\lambda$.
Отсюда мы можем записать нулевую компоненту метрического тензора, которая в слабых полях полностью определяет гравитационное ускорение:
$g_{00}=1-\frac{4G}{c^4}\int\frac{S_{\mu\nu}(r_0, t-\frac{r-r_0}{c})}{r-r_0}dV$ (3)

Нулевой элемент метрика (2) записан в общем виде, только для самых слабых полей. Это классическое решение (из ЛиЛ, Вайнберга и МТУ и т.д.), здесь ни грамма нет Горькавого или кого-то еще. Здесь $r$ - это расстояние до наблюдателя, а $r_0$ - это радиус источника гравитации. Этот страшный интеграл по объему источника можно упростить, предположив, что $r>>r_0$, отчего можно пренебречь радиусом источника и считать его квазиточечным источником.

manul91 в сообщении #1652551 писал(а):

То ли они на метрику Кутчера ссылаются/основываются, то ли у них все все-таки "остается верным" вопреки ошибки Кутчера

Теперь вам понятно, что рассматриваемый нами случай не имеет никакого отношения к рассмотрению Кутчерой пролетающих оболочек, потому что в этом случае нам нужно рассматривать гораздо более сложный случай $r<r_0$. Зато рассмотрение Кутчерой изменения гравитационного поля из-за давления в квазиточечном объекте (без каких-либо пролетающих оболочек) вполне адекватно и мы с ним совпадаем (не основываемся! у нас было свое, независимое решение) и поэтому ссылаемся.

Вернемся к метрике (3). Тензор энергии-импульса для среды без давления и с небольшими скоростями очень прост: $T_{00}=\rho c^2$. Это опять-таки все из учебника. Определить зависимость плотности от времени из уравнений Эйнштейна нельзя - это должно задаваться из других соображений и моделей. Если взять интеграл в (3) по объему компактного объекта с плотностью $\rho (t)$, то получим переменную массу неизвестной зависимости $M(t)$. В итоге мы получим из (3) следующую формулу:
$g_{00}=1-\frac{2GM(t-r/c)}{rc^2}$ (4)
Мы получили искомую метрику для квазиточечной (никаких оболочек!) системы с переменной массой. Мы не сделали ни одного экзотического предположения (даже зависимость массы от времени может быть достаточно широкоизвестной типа переменность гравполя из-за вращения двойной системы). Здесь в принципе я ничего не внес, но тем не менее - метрика (4) это и есть мой результат. Если мы предположим постоянную массу, то получим из (4) классическую метрику Шварцшильда. Если мы оставим зависимость массы от времени и вычислим гравитационное ускорение по формуле $\frac{c^2}{2}\frac{\partial g_{00}}{\partial r}$, то получим потрясающий результат - появление нового слагаемого в гравитационном ускорении:
$-\frac{GM(t-r/c)}{r^2}+\frac{G}{r}\frac{\partial M(t-r/c)}{\partial r}$ (5)

Дальше можно спорить - а какую функцию взять для переменной массы, а возможно ли это физически и т.д. Но это уже не принципиально. Можно сколько угодно верещать, что антигравитация невозможна, что все это "фантастика", но я представил максимально детально строгий математический вывод нового слагаемого гравитационного ускорения (5). Для профессионалов, который не соглашаются, есть только один способ опровергнуть этот результат - указать, где в данном расчете была сделана ошибка или сделано безусловно неприемлемое предположение. Все остальные ужимки, прыжки и оскорбления ничего не значат.

[realeugene]

piksel в сообщении #1652701 писал(а):

В метрике Шварцшильда в сферических координатах это правильно.

Не, в метрике Шварцшильда как раз нужно домножить углы на $r^2$. Но в вашем коде как раз доможено.

-- 01.09.2024, 22:35 --

piksel в сообщении #1652701 писал(а):

Из этой метрики неизвестно как получить плотность материи в собственной системе отсчета, поскольку существует ненулевой $G_{tr}$ и поэтому $T_{tt}=G_{tt}$ таковой не является.

Значит, в этих координатах ещё что-то куда-то летит.

piksel в сообщении #1652701 писал(а):

Все-таки приведу листинг для Максимы.

Да, спасибо. Да, видно, что быстро в этот пакет не въехать, да и знания дифференциальной геометрии не достаточно глубоки.

Всё-таки можно ли убедиться, что у этой метрики нет кручения?

[piksel]

realeugene в сообщении #1652705 писал(а):

Не, в метрике Шварцшильда как раз нужно домножить углы на $r^2$. Но в вашем коде как раз доможено.

Да, вы правы, опечатка.

realeugene в сообщении #1652705 писал(а):

Всё-таки можно ли убедиться, что у этой метрики нет кручения?

Метрика сферически симметричная, откуда у нее кручение?

[sergey zhukov]

Nick Gorkavyi в сообщении #1652703 писал(а):

Определить зависимость плотности от времени из уравнений Эйнштейна нельзя - это должно задаваться из других соображений и моделей.

По моему, уравнения Эйнштейна при заданных начальных и граничных условиях все определяют. За исключением уравнения состояния материи, которое, да, нужно задать отдельно. При данном уравнении состояния зависимость плотности от времени вы руками задавать не можете. Вот, например, в космологических решениях Фридмана зависимость плотности от времени получается как раз в результате решения уравнений Эйнштейна.

-- 02.09.2024, 00:23 --

Nick Gorkavyi в сообщении #1652703 писал(а):

ЭТО КАРДИНАЛЬНО РАЗНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Nick Gorkavyi в сообщении #1652703 писал(а):

Теперь, я решил поработать с системой Б. Какой смысл мне учитывать неоднородности порядка $10^{-20}$? Никакого. Поэтому я записываю уравнение для сферически симметричного облака черных дыр, и у меня получается сферически-симметричная метрика

Вот об этом и речь. Когда нужно напомнить, что теорема Биркгофа тут не работает, мы говорим "Кардинально разные системы". А когда нужно тем не менее записать сферически симметричную метрику (но отличную от шварцшильдовской), мы говорим "Какой смысл учитывать неоднородности порядка 10^{-20}?". Так кардинально это разные системы или их различиями можно пренебречь? Я так и не понял.

-- 02.09.2024, 00:33 --

Nick Gorkavyi в сообщении #1652703 писал(а):

есть только один способ опровергнуть этот результат - указать, где в данном расчете была сделана ошибка или сделано безусловно неприемлемое предположение.

По моему, ошибка в том, что в одном месте расчета мы говорим "Симметрия слабая, поэтому теорема, основанная на симметрии, не работает", и тут же в другом месте расчета говорим "Несимметрия слабая, поэтому используем центрально-симметричное решение".

[realeugene]

piksel в сообщении #1652712 писал(а):

етрика сферически симметричная, откуда у нее кручение?

Да, кручения не может быть.

Тогда остаётся записать $\nu$, $\lambda$ из ЛЛ2 и посмотреть, каким именно образом обнуляется гравитационный потенциал внутри оболочек, хотя бы при ньютоновской гравитации. Может быть там энергии отрицательные вылезут?

На малых радиусах всё портит то, что $M$ - не масса из Шварцшильда. Но при больших $r$ потенциал вполне ньютоновский, и потенциал внутри оболочки будет постоянным, если $M(r) \propto r$. Но это даёт ненулевой $G_{tt}$. Очень странно. Пространство-время там же совершенно плоское, и метрика постоянна. Не понимаю.

А, не, там в трёхмерном пространстве длина окружности не равна $2 \pi r$. Пустой Шварцшильд внутри оболочки плоский, а эта метрика - нет.

-- 02.09.2024, 00:15 --

piksel в сообщении #1652701 писал(а):

Из этой метрики неизвестно как получить плотность материи в собственной системе отсчета, поскольку существует ненулевой $G_{tr}$ и поэтому $T_{tt}=G_{tt}$ таковой не является.

Если $M(r,t)$ не зависит от времени, он нулевой.

Кажется интересным случай $M(r,t)=a r$, где $a=\operatorname{const}$. Гравитационный потенциал постоянный, а трёхмерное пространство кривое. Это какой ТЭИ материи может дать?

[Nick Gorkavyi]

sergey zhukov в сообщении #1652713 писал(а):

За исключением уравнения состояния материи, которое, да, нужно задать отдельно. При данном уравнении состояния зависимость плотности от времени вы руками задавать не можете.

Переменность плотности от времени - это и есть уравнение состояния, которое нужно откуда-то находить. Но эти вопросы уже за пределами решения (5), которое пока не имеет конкретной функции $M(t-r/c)$.

sergey zhukov в сообщении #1652713 писал(а):

По моему, ошибка в том, что в одном месте расчета мы говорим "Симметрия слабая, поэтому теорема, основанная на симметрии, не работает", и тут же в другом месте расчета говорим "Несимметрия слабая, поэтому используем центрально-симметричное решение".

Если мы возьмем конкретное слияние двух черных дыр в системе Б, то для него теорема Биркгофа очевидно не работает. И так мы можем показать для каждой пары дыр. В итоге мы получим $10^{20}$ доказательств, что теорема Биркгофа не работает. А если мы сложим все эти сливающиеся дыры в квазисферическую систему, то что - вернется справедливость теоремы Биркгофа? Не нужно ставить знак равенства между сферически симметричным решением и теоремой Биркгофа. Она работает для постоянной массы. Мы вышли за пределы применимости теоремы и можем получать сферически-симметричные монопольные волны - теорема нас уже не ограничивает.

[Mikhail_K]

Nick Gorkavyi в сообщении #1652722 писал(а):

Не нужно ставить знак равенства между сферически симметричным решением и теоремой Биркгофа. Она работает для постоянной массы.

Такого условия (постоянства массы) в теореме Биркгофа нет.

Nick Gorkavyi в сообщении #1652722 писал(а):

Мы вышли за пределы применимости теоремы

Укажите, где именно. Пока что Вы ссылались только на то, что Ваше решение не вакуумное. Ну, там где оно не вакуумное (в той компактной области, где сосредоточена масса), теорему Биркгофа и не предлагается применять. Её предлагается применять для того участка пространства-времени, где тензор энергии-импульса нулевой (т.е. для участка вне компактной области, где сосредоточена переменная масса). При этом, предполагаемое наличие гравитационных волн не мешает применимости теоремы Биркгофа (в её условии нет никаких подобных ограничений). У Вайнберга, на которого Вы ссылаетесь, говорится просто, что невакуумные решения могут включать гравитационные волны; Вайнберг нигде не говорит, что одни только гравитационные волны, без материи, образуют невакуумное решение.

Nick Gorkavyi в сообщении #1652722 писал(а):

А если мы сложим все эти сливающиеся дыры в квазисферическую систему, то что - вернется справедливость теоремы Биркгофа?

Почему бы и нет.

[sergey zhukov]

Nick Gorkavyi в сообщении #1652722 писал(а):

А если мы сложим все эти сливающиеся дыры в квазисферическую систему, то что - вернется справедливость теоремы Биркгофа?

Не думаю. Но и сферическая симметрия в этом случае тоже не возвращается. Если мы говорим "Масса системы уменьшается из-за излучения гравитационных волн именно вследствии отклонения системы от центральной симметрии", то мы уже не можем на следующем шаге пренебрегать этим самым отклонением. Т.е. следует искать сферически несимметричное решение.

Если в одном месте расчета пренебречь каким-то параметром за малостью, а в другом месте расчета считать, что этим параметром как-раз нельзя пренебречь, то вполне можно получить неправильный результат. Иногда так можно делать, иногда - нет.

[SergeyGubanov]

Nick Gorkavyi в сообщении #1652722 писал(а):

А если мы сложим все эти сливающиеся дыры в квазисферическую систему, то что - вернется справедливость теоремы Биркгофа? Не нужно ставить знак равенства между сферически симметричным решением и теоремой Биркгофа. Она работает для постоянной массы. Мы вышли за пределы применимости теоремы и можем получать сферически-симметричные монопольные волны - теорема нас уже не ограничивает.

Теперь, чтобы перейти от слов к делу, осталось написать эту самую вашу квазисферическую метрику. Дерзайте...

$$ds^2 = \ldots \text{здесь должно быть нечто квазисферическое и удовлетворяющее уравнениям ОТО} \ldots$$

[Geen]

Nick Gorkavyi в сообщении #1652703 писал(а):

Этот страшный интеграл по объему источника можно упростить, предположив, что $r>>r_0$, отчего можно пренебречь радиусом источника и считать его квазиточечным источником.

Это с чего бы вдруг. Формально опишите, пожалуйста.

[SergeyGubanov]

Nick Gorkavyi в сообщении #1652703 писал(а):

Для профессионалов, который не соглашаются, есть только один способ опровергнуть этот результат - указать, где в данном расчете была сделана ошибка или сделано безусловно неприемлемое предположение.

Ошибка сделана в самом начале. Сначала найдите метрику удовлетворяющую уравнениям ОТО.