Существует ли четырёхмерный кирпич Эйлера?

[User_5687]

Добрый день! Приветствую вас.

Почти не сомневаюсь, все вы знаете, что такое кирпичи Эйлера. В трёхмерном варианте это прямоугольный параллелепипед, у которого все три ребра натуральные числа (целые и ненулевые) и все три диагонали боковых граней тоже натуральные числа. Пространственная диагональ, которая проходит в толще параллелепипеда (главная) может и не быть натуральным числом.

Самый маленький (44, 117, 240), как всем известно.

Вопрос, а существует ли четырёхмерный аналог кирпича Эйлера? Если да, приведите, пожалуйста, пример самого маленького, а если нет, как это можно доказать.

Аналогичный интерес у меня есть и к кирпичам Эйлера в пространствах более высоких измерений (пятого, шестого и так далее), но четырёхмерный вариант мне наиболее интересен.

Спасибо за внимание, надеюсь на вашу помощь. К сожалению, сам я с этой проблемой не справился.

Всего доброго!

Сергей Самохин, Москва.

[gris]

Если взять список эйлеровых плиток (пар размеров натуральных прямоугольников с натуральной диагональю), то можно заметить, что в эйлеровом кирпиче $<a,b,c>$ три эйлеровых плитки $<a,b>,<a,c>,<b,c>$, а в четырёхмерном эйлеровом блоке $<a,b,c,d>$ шесть эйлеровых кирпичей $<a,b,c>, ... <b,c,d>$ и шесть эйлеровых плиток $<a,b>, ... <c,d>$ и так далее по размерностям.
Прямой перебор по натуральным четвёркам прост, но скорее чрезвычайно долог, хотя можно его оптимизировать. Но лучше построить базу кирпичей (вроде A031173) и с ней работать. Почитайте там теорию про кубоиды, может быть пригодится.

[Dmitriy40]

Наверное лучше брать сразу готовые 3-х мерные блоки с целой диагональю из A096910. В вики и параметризация есть. Оптимизировать перебор можно если отбрасывать блоки, все стороны которых не входят ещё в минимум два других блока.

[kotenok gav]

User_5687 в сообщении #1561468 писал(а):

В трёхмерном варианте это прямоугольный параллелепипед, у которого все три ребра натуральные числа (целые и ненулевые) и все три диагонали боковых граней тоже натуральные числа.

А в четырёхмерном варианте диагонали боковых кубограней тоже должны быть натуральными? Совершенный кубоид пока что неизвестен.

[zykov]

Проверил на компьютере до 700к, ни одной четвёрки не нашел.
Самым перспективным было число 110880, которое входило в 12 троек, так что каждое другое число в тройке входило в другую тройку.

    13090    20328   110880
    13090    71400   110880
    20328    54054   110880
    22400    32340   110880
    22400    76800   110880
    32340   110880   160083
    54054   110880   294840
    71400   110880   604800
    76800   110880   380160
   110880   160083   548856
   110880   294840   604800
   110880   380160   548856

Всего был 21 кандидат, но для них было меньше таких троек. В основном по 6, по одному разу 3, 7 и 9.

Каких-то причин, чтобы не было такой четвёрки, не видно.
Скорее всего встретится позже, при больших числах.
С ростом чисел растёт количество и длинна списков троек. Чем дальше, тем больше вероятность найти четвёрку.

[Andrey A]

kotenok gav в сообщении #1561518 писал(а):

... диагонали боковых кубограней тоже должны быть натуральными?

Можно выразиться проще. Совершенный кубоид это три числа, суммы квадратов которых в любых сочетаниях есть целые квадраты. Эйлеров — за исключением трех слагаемых.
Четырехмерный Эйлеров — четыре числа, суммы квадратов которых в любых сочетаниях есть целые квадраты за исключением четырех слагаемых. Конечно это предполагает существование четырех трехмерных совершенных кубоидов, из которых даже одного никто не видел.

[observer111222]

К сожалению данный вопрос сформулирован автором несколько некорректно, что породило некоторое непонимание. Сформулирую вопрос данного поста более корректно, разумеется так, как я его понимаю.

=====
>
"Почти не сомневаюсь, все вы знаете, что такое кирпичи Эйлера. В трёхмерном варианте это прямоугольный параллелепипед, у которого все три ребра натуральные числа (целые и ненулевые) и все три диагонали боковых граней тоже натуральные числа. Пространственная диагональ, которая проходит в толще параллелепипеда (главная) может и не быть натуральным числом.

Самый маленький (44, 117, 240), как всем известно.

Вопрос, а существует ли четырёхмерный аналог кирпича Эйлера? Если да, приведите, пожалуйста, пример самого маленького, а если нет, как это можно доказать."
=====

От себя добавлю (и в этом более корректная формулировка вопроса) - боковые грани четырёхмерного кирпича Эйлера - обычные трёхмерные кирпичи Эйлера, а вовсе не трёхмерные совершенные кубоиды. Для данного вопроса вообще неважно, существуют трёхмерные совершенные кубоиды или нет, они вообще не имеют отношения к данному вопросу.

Во всяком случае, лично я именно так понял смысл данного поста. Приношу извинения автору данного поста, если я его неправильно понял, но что делать, если и в самом деле вопрос сформулирован некорректно?

Почему я так думаю? Это обусловлено чисто философскими соображениями, то есть, если мы имеем n-мерный объект, то его боковые грани просто обязаны быть (n-1)-мерными объектами абсолютно такой же природы, и ничем иным, это соответствует духу и философии математики.

Например, боковые грани четырёхмерного куба - такие же кубы, только трёхмерные, а не, например, трёхмерные тетраэдры, боковые грани трёхмерного куба - такие же кубы, только двумерные (то есть, квадраты), а не, например, правильные треугольники.

Соответственно, если у нас есть четырёхмерный куб Эйлера, так его боковые грани тоже обязаны быть объектами той же природы, пусть и трёхмерными, то есть, трёхмерными кирпичами Эйлера. А трёхмерные совершенные кубоиды это уже объекты иной природы, поэтому боковыми гранями четырёхмерного кирпича Эйлера они быть никак не могут, причём, как я уже говорил, тогда, для данного вопроса, вообще неважно, а существуют ли они вообще, трёхмерные совершенные кубоиды? Это уже перевод разговора на совсем другую тему, которая никакого отношения к смыслу данного поста не имеет. Во всяком случае, так я понимаю смысл вопроса, заданного автором. Если я что-то не так понял, приношу извинения.

Читая ответы пользователей, я увидел, что только zykov правильно уловил смысл данного поста, более того, даже попытался компьютерным перебором найти хоть один четырёхмерный кирпич Эйлера, но, увы, у него не хватило терпения, и он этот интересный эксперимент прервал.

Я рекомендую Вам, zykov, данный эксперимент всё же продолжить, потому что это интересно. В конце-концов, Ваши слова

=====
>
"Каких-то причин, чтобы не было такой четвёрки, не видно.
Скорее всего встретится позже, при больших числах."
=====

не являются математически корректным доказательством, а основаны всего лишь на интуиции, которая в математике вещь очень ненадёжная. Например, можно "рассуждать" и так: если сумма квадратов двух натуральных чисел может быть квадратом третьего натурального числа, тогда наверняка и сумма кубов двух натуральных чисел равна кубу какого-то третьего натурального числа, не надо и искать, при больших числах наверняка так оно и есть. И, тем не менее, это не так, Великая теорема Ферма запрещает.

Результаты Вашего эксперимента меня не убедили совершенно, наоборот, подозрительно, что Вы перебрали почти миллион вариантов, но решения не нашли. То есть, может Вы и правы, решение есть, но я бы на Вашем месте всё-таки довёл дело до конца.

[Mikhail_K]

observer111222 в сообщении #1573434 писал(а):

Почему я так думаю? Это обусловлено чисто философскими соображениями, то есть, если мы имеем n-мерный объект, то его боковые грани просто обязаны быть (n-1)-мерными объектами абсолютно такой же природы, и ничем иным, это соответствует духу и философии математики.

Например, боковые грани четырёхмерного куба - такие же кубы, только трёхмерные, а не, например, трёхмерные тетраэдры, боковые грани трёхмерного куба - такие же кубы, только двумерные (то есть, квадраты), а не, например, правильные треугольники.

А вот (гипер)грани четырёхмерного октаэдра - трёхмерные правильные тетраэдры, а не октаэдры. Не везде работает Ваша философия.

[mihaild]

Очевидно что для любых $n$ и $k$, $n \geq k$ можно рассмотреть задачу "найти $n$ натуральных чисел, таких что сумма квадратов любых не более чем $k$ из них является точным квадратом". При $n = k = 2$ получаем поиск пифагоровых треугольников, при $n = 3$, $k = 2$ - эйлеровы кирпичи, $n = k = 3$ - совершенные кубоиды. Дальше вопрос в том, в обобщении эйлерова кирпича для произвольного $n$ мы берем $k = 2$ или $k = n - 1$ (при $n = 3$ это одно и то же, дальше нет).

[zykov]

observer111222 в сообщении #1573434 писал(а):

и он этот интересный эксперимент прервал

Ещё летом считал где-то до 150М, ничего не нашлось.
Может и нет таких четвёрок.

[mathteach]

А ведь мы столкнулись с новой открытой (нерешённой) математической проблемой:

существует ли четырёхмерный кирпич Эйлера, боковые грани которого обычные трёхмерные кирпичи Эйлера?

Не доказано существование такого кирпича Эйлера (не найдено ни одной четвёрки натуральных чисел, которые бы являлись его рёбрами),
но не доказано и того, что его не существует в принципе, на всём множестве натуральных чисел.

Участник форума zykov сделал попытку решить эту проблему компьютерным перебором, то есть найти хоть одну четвёрку натуральных чисел,
которые являлись бы рёбрами четырёхмерного кирпича Эйлера, боковые грани которого обычные трёхмерные кирпичи Эйлера, но у него этого не получилось.

Проблема так и осталась открытой (нерешённой).

[Andrey A]

Разрешимость $k$-мерной задачи о кубоиде является необходимым условием разрешимости $(k+1)$-мерной задачи об Эйлеровом кубоиде. Но не достаточным.
О разрешимости $3$-мерной задачи о кубоиде ничего не известно. Отсюда бесконечная серия неразрешимых проблем, ничего удивительного.
Ваша проблема в невнимательном чтении.

(Оффтоп)

если, конечно, Вы не клон.

[vicvolf]

Интересно, что задача решается при сумме более, чем трех квадратов: $6^2=5^2+3^2+1^2+1^2$, $4^2=3^2+2^2+1^2+1^2+1^2$.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1652251 писал(а):

например $4^2=3^2+2^2+1^2+1^2+1^2$

mihaild в сообщении #1573458 писал(а):

любых не более чем $k$

[opponent]

Я не согласен с мнением участника Andrey A , что необходимым условием для существования четырёхмерного кирпича Эйлера является существование трёхмерных совершенных кубоидов,
которые непременно должны быть его боковыми гранями. Это ведь не более, чем аксиома, которая принимается без доказательства.

Но лично я придерживаюсь другой аксиомы, которая гласит, что для существования четырёхмерного кирпича Эйлера существования трёхмерных совершенных кубоидов не требуется,
вполне достаточно обычных трёхмерных кирпичей Эйлера.

И здесь я солидарен с точкой зрения пользователя mathteach, согласно которой боковые грани четырёхмерного кирпича Эйлера - обычные трёхмерные кирпичи Эйлера, но не
трёхмерные совершенные кубоиды. И тогда преложенная им формулировка открытой (нерешённой) математической проблемы абсолютно корректна, вопрос не снят с повестки дня:

существует ли четырёхмерный кирпич Эйлера, боковые грани которого обычные трёхмерные кирпичи Эйлера?