Треугольники

[drzewo]

Имеются два треугольника $ABC$ и $PQR$. Вершина $A$ является серединой стороны $QR$. Вершина $P$ является серединой стороны $BC$. Прямая $QR$ является биссектрисой угла $BAC$. Прямая $BC$ является биссектрисой угла $QPR$.
Доказать: $|AC|+|AB|=|PR|+|PQ|$

[gris]

Так и хочется рассмотреть вырожденный случай:
$\triangle ABC [(0,0),(0,2),(2,0)];\quad \triangle QPR [(-121,-121),(1,1),(121,121)];$
Его нельзя пошевелить?

[TOTAL]

За рисунок не взялся (нет удобной рисовалки), поэтому так.

ОБОЗНАЧЕНИЯ.
$CA$ продлим за т. $A$ до т. $B'$ так, что $AB'=AB$
$RP$ продлим за т. P$ до т. Q'$ так, что $PQ'=PQ$
$CB$ и $RQ$ пересекаются в т. $O$
Продолжение $CB$ и срединный перпендикуляр к $QR$ (идёт из т. $A$) пересекаются в т. $A'$
Продолжение $RQ$ и срединный перпендикуляр к $CB$ (идёт из т. $P$) пересекаются в т. $P'$
$\angle OBQ = \alpha, \angle OQB = \beta $

НАХОДИМ УГЛЫ
$PO*OA' = AO*OP'$ (т.к. $PP'A'A$ - окружность)
$PO*OA' = QO*OR$ (т.к. $PQA'R$ - окружность)
$AO*OP' = BO*OC$ (т.к. $ABP'C$ - окружность)
Получили $QO*OR=BO*OC$, т.е. $CQBR$ - окружность, поэтому $\angle ORC = \alpha, \angle OCR = \beta $

Теперь утверждение задачи ($CA+AB'=RP+PQ'$) следует из равенства треугольников $CRQ'$ и $RCB'$ (по двум сторонам и углу между ними).
Действительно, $CQ'=QB=B'R$, $CR$ - общая, $\angle Q'CR = \angle B'RC = \alpha + \beta$

[TOTAL]

[drzewo]

Это самое изящное решение , что я видел. Я несколько раз предлагал эту задачу разным людям. Мое собственное решение -- бруталфорс: аналитическая геометрия+программа символьных вычислений