2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Треугольники
Сообщение27.08.2024, 11:54 


21/12/16
689
Имеются два треугольника $ABC$ и $PQR$. Вершина $A$ является серединой стороны $QR$. Вершина $P$ является серединой стороны $BC$. Прямая $QR$ является биссектрисой угла $BAC$. Прямая $BC$ является биссектрисой угла $QPR$.
Доказать: $|AC|+|AB|=|PR|+|PQ|$

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники
Сообщение27.08.2024, 12:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Так и хочется рассмотреть вырожденный случай:
$\triangle ABC [(0,0),(0,2),(2,0)];\quad \triangle QPR [(-121,-121),(1,1),(121,121)];$
Его нельзя пошевелить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники
Сообщение02.09.2024, 14:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5486
Нов-ск
За рисунок не взялся (нет удобной рисовалки), поэтому так.

ОБОЗНАЧЕНИЯ.
$CA$ продлим за т. $A$ до т. $B'$ так, что $AB'=AB$
$RP$ продлим за т. P$ до т. Q'$ так, что $PQ'=PQ$
$CB$ и $RQ$ пересекаются в т. $O$
Продолжение $CB$ и срединный перпендикуляр к $QR$ (идёт из т. $A$) пересекаются в т. $A'$
Продолжение $RQ$ и срединный перпендикуляр к $CB$ (идёт из т. $P$) пересекаются в т. $P'$
$\angle OBQ = \alpha, \angle OQB = \beta $

НАХОДИМ УГЛЫ
$PO*OA' = AO*OP'$ (т.к. $PP'A'A$ - окружность)
$PO*OA' = QO*OR$ (т.к. $PQA'R$ - окружность)
$AO*OP' = BO*OC$ (т.к. $ABP'C$ - окружность)
Получили $QO*OR=BO*OC$, т.е. $CQBR$ - окружность, поэтому $\angle ORC = \alpha, \angle OCR = \beta $

Теперь утверждение задачи ($CA+AB'=RP+PQ'$) следует из равенства треугольников $CRQ'$ и $RCB'$ (по двум сторонам и углу между ними).
Действительно, $CQ'=QB=B'R$, $CR$ - общая, $\angle Q'CR = \angle B'RC = \alpha + \beta$

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники
Сообщение03.09.2024, 10:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5486
Нов-ск
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники
Сообщение03.09.2024, 21:46 


21/12/16
689
Это самое изящное решение , что я видел. Я несколько раз предлагал эту задачу разным людям. Мое собственное решение -- бруталфорс: аналитическая геометрия+программа символьных вычислений

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group