Необычное диофантово уравнение

[maxal]

nnosipov в сообщении #1651286 писал(а):

maxal в сообщении #1651280 писал(а):

Или я чего-то не вижу?

А там у системы только два решения (т.е. не все знаки допустимы). И для этих двух решений вроде бы все окей. Более точно, речь идет о системе

$$u+1/u+v+1/v=4, \quad m(u-1/u)+n(v-1/v)=0,$$

где $u=x^m$, $v=x^n$. Она, помимо тривиального решения $(u,v)=(1,1)$, имеет еще ровно два решения $(u,v) \in \{(u_0,v_0),(u_0^{-1},v_0^{-1})\}$, где

$$u_0=-\frac{m^2+3n^2+2n\sqrt{2(m^2+n^2)}}{m^2-n^2}, \quad v_0=\frac{3m^2+n^2+2m\sqrt{2(m^2+n^2)}}{m^2-n^2}.$$

Проверьте.

Ну да, у меня то же самое, только с минусом перед $2n$ - почему оно не возможно. Мне непонятно, как быть в случае, когда $x$ отрицательный, $m$ - нечётно, $n$ - четно.

-- Sat Aug 24, 2024 11:13:49 --

Rak so dna в сообщении #1651287 писал(а):

Левая часть меньше единицы, а правая больше:

Вы знаки перепутали.

[Rak so dna]

maxal в сообщении #1651288 писал(а):

Вы знаки перепутали.

[maxal]

Rak so dna
Перепроверил - да, это у меня знаки перепутаны. Вопрос снимается.

-- Sat Aug 24, 2024 11:31:30 --

А для этого выбора знаков?

$$\big(\frac{3m^2+n^2}{m^2-n^2} - \frac{2m}{m^2-n^2}\sqrt{2(m^2+n^2)}\big)^m = \big(\frac{m^2+3n^2}{m^2-n^2} - \frac{2n}{m^2-n^2}\sqrt{2(m^2+n^2)}\big)^n$$

[Rak so dna]

maxal в сообщении #1651292 писал(а):

А для этого выбора знаков?

$$\big(\frac{3m^2+n^2}{m^2-n^2} - \frac{2m}{m^2-n^2}\sqrt{2(m^2+n^2)}\big)^m = \big(\frac{m^2+3n^2}{m^2-n^2} - \frac{2n}{m^2-n^2}\sqrt{2(m^2+n^2)}\big)^n$$

$0<\frac{3m^2+n^2}{m^2-n^2}-\frac{2m}{m^2-n^2}\sqrt{2(m^2+n^2)}<1$

$0<\frac{m^2+3n^2}{m^2-n^2}-\frac{2n}{m^2-n^2}\sqrt{2(m^2+n^2)}<1$

$\left(\frac{m^2+3n^2}{m^2-n^2}-\frac{2n}{m^2-n^2}\sqrt{2(m^2+n^2)}\right)=\left(\frac{3m^2+n^2}{m^2-n^2}-\frac{2m}{m^2-n^2}\sqrt{2(m^2+n^2)}\right)+\frac{4(m-n)^2}{(n+m)(2\sqrt{2(n^2+m^2)}+2(n+m))}~\Rightarrow$

$\left(\frac{3m^2+n^2}{m^2-n^2}-\frac{2m}{m^2-n^2}\sqrt{2(m^2+n^2)}\right)\leq\left(\frac{m^2+3n^2}{m^2-n^2}-\frac{2n}{m^2-n^2}\sqrt{2(m^2+n^2)}\right)~\Rightarrow$

$\left(\frac{3m^2+n^2}{m^2-n^2}-\frac{2m}{m^2-n^2}\sqrt{2(m^2+n^2)}\right)^m<\left(\frac{m^2+3n^2}{m^2-n^2}-\frac{2n}{m^2-n^2}\sqrt{2(m^2+n^2)}\right)^n$

[maxal]

Ура, совместными усилиями одолели.
Но задачка какая-то неолимпиадная (если без доступа к CAS) - слишком много ручной работы.

[nnosipov]

maxal
Да, здесь есть неприятный технический момент (разумеется, я пользовался CAS --- во избежание ошибок прежде всего). Я сам не ожидал, что организаторы олимпиады возьмут эту задачу. Обычно я засылаю им несколько штук, они берут максимум одну, а в этот раз они взяли две из трех присланных --- эту и еще Уравнение Гордана. По моему, Сибирская математическая олимпиада в 2023 году смотрелась неплохо по уровню задач.